三角学示例

$\cot^{2} (x) - 15 \cot (x) = 16$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $16$ 。

$\cot^{2} (x) - 15 \cot (x) - 16 = 0$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $\cot^{2} (x) - 15 \cot (x) - 16$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 16$ ，和为 $- 15$ 。

$- 16, 1$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(\cot (x) - 16) (\cot (x) + 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cot (x) - 16 = 0$

$\cot (x) + 1 = 0$

解题步骤 4

将 $\cot (x) - 16$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $\cot (x) - 16$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (x) - 16 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\cot (x) - 16 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $16$ 。

$\cot (x) = 16$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (16)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

计算 $arccot (16)$ 。

$x = 0.0624188$

解题步骤 4.2.4

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.0624188$

解题步骤 4.2.5

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.5.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.0624188$

解题步骤 4.2.5.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.0624188$

解题步骤 4.2.5.3

将 $3.14159265$ 和 $0.0624188$ 相加。

$x = 3.20401146$

解题步骤 4.2.6

求 $\cot (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4.2.7

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.0624188 + π n, 3.20401146 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\cot (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $\cot (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (x) + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\cot (x) + 1 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cot (x) = - 1$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (- 1)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

$arccot (- 1)$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

解题步骤 5.2.5

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.5.1

将 $2 π$ 加上 $\frac{3 π}{4} - π$ 。

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 5.2.5.2

得出的角 $\frac{7 π}{4}$ 是正角度且与 $\frac{3 π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 5.2.6

求 $\cot (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.2.7

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $(\cot (x) - 16) (\cot (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0.0624188 + π n, 3.20401146 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $0.0624188 + π n$ 和 $3.20401146 + π n$ 合并为 $0.0624188 + π n$ 。

$x = 0.0624188 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.2

将 $\frac{3 π}{4} + π n$ 和 $\frac{7 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{3 π}{4} + π n$ 。

$x = 0.0624188 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

三角学示例