三角学示例

$\cot^{2} (x) = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

解题步骤 1

使用基于 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式的 $\csc^{2} (x) - 1$ 替换 $\cot^{2} (x)$ 。

$\csc^{2} (x) - 1 = - \frac{5}{2} \cdot \csc (x) - 2$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $\csc (x)$ 。

${(u)}^{2} - 1 = - \frac{5}{2} u - 2$

解题步骤 3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

组合 $u$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$u^{2} - 1 = - \frac{u \cdot 5}{2} - 2$

解题步骤 3.2

将 $5$ 移到 $u$ 的左侧。

$u^{2} - 1 = - \frac{5 u}{2} - 2$

解题步骤 4

在等式两边都加上 $\frac{5 u}{2}$ 。

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} = - 2$

解题步骤 5

将所有项移到等式左边并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$u^{2} - 1 + \frac{5 u}{2} + 2 = 0$

解题步骤 5.2

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$u^{2} + \frac{5 u}{2} + 1 = 0$

解题步骤 6

全部乘以最小公分母 $2$ ，然后化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

运用分配律。

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

解题步骤 6.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$2 u^{2} + 2 \frac{5 u}{2} + 2 \cdot 1 = 0$

解题步骤 6.2.1.2

重写表达式。

$2 u^{2} + 5 u + 2 \cdot 1 = 0$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 u^{2} + 5 u + 2 = 0$

解题步骤 7

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 8

将 $a = 2$ 、 $b = 5$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.1.3

从 $25$ 中减去 $16$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.1.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$u = \frac{- 5 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u = \frac{- 5 \pm 3}{2 \cdot 2}$

解题步骤 9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 5 \pm 3}{4}$

解题步骤 10

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{1}{2}, - 2$

解题步骤 11

代入 $\csc (x)$ 替换 $u$ 。

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, - 2$

解题步骤 12

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

解题步骤 13

在 $\csc (x) = - \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

余割函数值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。由于 $- \frac{1}{2}$ 不在该范围内，所以无解。

无解

解题步骤 14

在 $\csc (x) = - 2$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- 2)$

解题步骤 14.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.2.1

$arccsc (- 2)$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 14.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 14.4

化简表达式以求第二个解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.4.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 14.4.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 14.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 14.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 14.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 14.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 14.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

解题步骤 14.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 14.6.3

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 14.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 14.6.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 14.6.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 14.6.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{6}$

解题步骤 14.6.5

列出新角。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 14.7

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

列出所有解。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

三角学示例