三角学示例

$\csc^{2} (x) = 8 \cot (x) + 10$

解题步骤 1

使用基于 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式的 $\cot^{2} (x) + 1$ 替换 $\csc^{2} (x)$ 。

$\cot^{2} (x) + 1 = 8 \cot (x) + 10$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $\cot (x)$ 。

${(u)}^{2} + 1 = 8 (u) + 10$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $8 u$ 。

$u^{2} + 1 - 8 u = 10$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $10$ 。

$u^{2} + 1 - 8 u - 10 = 0$

解题步骤 5

从 $1$ 中减去 $10$ 。

$u^{2} - 8 u - 9 = 0$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $u^{2} - 8 u - 9$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 9$ ，和为 $- 8$ 。

$- 9, 1$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 9) (u + 1) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 9 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 8

将 $u - 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.1

将 $u - 9$ 设为等于 $0$ 。

$u - 9 = 0$

解题步骤 8.2

在等式两边都加上 $9$ 。

$u = 9$

解题步骤 9

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 9.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 9.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 10

最终解为使 $(u - 9) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 9, - 1$

解题步骤 11

代入 $\cot (x)$ 替换 $u$ 。

$\cot (x) = 9, - 1$

解题步骤 12

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cot (x) = 9$

$\cot (x) = - 1$

解题步骤 13

在 $\cot (x) = 9$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (9)$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

计算 $arccot (9)$ 。

$x = 0.11065722$

解题步骤 13.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.11065722$

解题步骤 13.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 13.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.11065722$

解题步骤 13.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.11065722$

解题步骤 13.4.3

将 $3.14159265$ 和 $0.11065722$ 相加。

$x = 3.25224987$

解题步骤 13.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 13.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 13.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.11065722 + π n, 3.25224987 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

在 $\cot (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (- 1)$

解题步骤 14.2

化简右边。

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解题步骤 14.2.1

$arccot (- 1)$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 14.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

解题步骤 14.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 14.4.1

将 $2 π$ 加上 $\frac{3 π}{4} - π$ 。

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 14.4.2

得出的角 $\frac{7 π}{4}$ 是正角度且与 $\frac{3 π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 14.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 14.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 14.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 14.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 14.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 14.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

列出所有解。

$x = 0.11065722 + π n, 3.25224987 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

合并解集。

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解题步骤 16.1

将 $0.11065722 + π n$ 和 $3.25224987 + π n$ 合并为 $0.11065722 + π n$ 。

$x = 0.11065722 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16.2

将 $\frac{3 π}{4} + π n$ 和 $\frac{7 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{3 π}{4} + π n$ 。

$x = 0.11065722 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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