三角学示例

$\cos^{2} (x) = 3 (1 - \sin (x))$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $1 - \sin^{2} (x)$ 替换 $\cos^{2} (x)$ 。

$1 - \sin^{2} (x) = 3 (1 - \sin (x))$

解题步骤 2

重新排列多项式。

$- \sin^{2} (x) + 1 = 3 (1 - \sin (x))$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$- {(u)}^{2} + 1 = 3 (1 - (u))$

解题步骤 4

化简 $3 (1 - u)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

重写。

$- u^{2} + 1 = 0 + 0 + 3 (1 - u)$

解题步骤 4.2

通过加上各个零进行化简。

$- u^{2} + 1 = 3 (1 - u)$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$- u^{2} + 1 = 3 \cdot 1 + 3 (- u)$

解题步骤 4.4

乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.4.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- u^{2} + 1 = 3 + 3 (- u)$

解题步骤 4.4.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$- u^{2} + 1 = 3 - 3 u$

解题步骤 5

在等式两边都加上 $3 u$ 。

$- u^{2} + 1 + 3 u = 3$

解题步骤 6

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- u^{2} + 1 + 3 u - 3 = 0$

解题步骤 7

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$- u^{2} + 3 u - 2 = 0$

解题步骤 8

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

从 $- u^{2} + 3 u - 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- u^{2} + 3 u - 2 = 0$

解题步骤 8.1.2

从 $3 u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- u^{2} - (- 3 u) - 2 = 0$

解题步骤 8.1.3

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$- u^{2} - (- 3 u) - 1 \cdot 2 = 0$

解题步骤 8.1.4

从 $- u^{2} - (- 3 u)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - 3 u) - 1 \cdot 2 = 0$

解题步骤 8.1.5

从 $- (u^{2} - 3 u) - 1 (2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - 3 u + 2) = 0$

解题步骤 8.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - 3 u + 2$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 8.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((u - 2) (u - 1)) = 0$

解题步骤 8.2.2

去掉多余的括号。

$- (u - 2) (u - 1) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

解题步骤 10

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

解题步骤 10.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$u = 2$

解题步骤 11

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 11.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 12

最终解为使 $- (u - 2) (u - 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 2, 1$

解题步骤 13

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = 2, 1$

解题步骤 14

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = 2$

$\sin (x) = 1$

解题步骤 15

在 $\sin (x) = 2$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $2$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 16

在 $\sin (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (1)$

解题步骤 16.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.2.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 16.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 16.4

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 16.4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 16.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 16.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.4.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 16.4.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 16.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 16.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 16.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 16.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 16.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 17

列出所有解。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

三角学示例