三角学示例

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = - \sqrt{2} \sin (x)$

解题步骤 1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2

分离分数。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1} \cdot \sec (x) = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 4

用 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 除以 $1$ 。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sec (x) = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) \sec (x) = \frac{- \sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6

分离分数。

$\tan (x) \sec (x) = \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) \sec (x) = \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \tan (x)$

解题步骤 8

用 $- \sqrt{2}$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) \sec (x) = - \sqrt{2} \tan (x)$

解题步骤 9

在等式两边都加上 $\sqrt{2} \tan (x)$ 。

$\tan (x) \sec (x) + \sqrt{2} \tan (x) = 0$

解题步骤 10

从 $\tan (x) \sec (x) + \sqrt{2} \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

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解题步骤 10.1

从 $\sqrt{2} \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \sqrt{2} = 0$

解题步骤 10.2

从 $\tan (x) \sec (x) + \tan (x) \sqrt{2}$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) (\sec (x) + \sqrt{2}) = 0$

解题步骤 11

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

$\sec (x) + \sqrt{2} = 0$

解题步骤 12

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 12.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) = 0$ 。

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解题步骤 12.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 12.2.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 12.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 12.2.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 12.2.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 12.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 12.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 12.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 12.2.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

将 $\sec (x) + \sqrt{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $\sec (x) + \sqrt{2}$ 设为等于 $0$ 。

$\sec (x) + \sqrt{2} = 0$

解题步骤 13.2

求解 $x$ 的 $\sec (x) + \sqrt{2} = 0$ 。

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解题步骤 13.2.1

从等式两边同时减去 $\sqrt{2}$ 。

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 13.2.2

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

解题步骤 13.2.3

化简右边。

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解题步骤 13.2.3.1

$arcsec (- \sqrt{2})$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 13.2.4

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 13.2.5

化简 $2 π - \frac{3 π}{4}$ 。

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解题步骤 13.2.5.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 13.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 13.2.5.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 13.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

解题步骤 13.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 13.2.5.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

解题步骤 13.2.5.3.2

从 $8 π$ 中减去 $3 π$ 。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 13.2.6

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 13.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 13.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 13.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 13.2.7

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

最终解为使 $\tan (x) (\sec (x) + \sqrt{2}) = 0$ 成立的所有值。

$x = π n, π + π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

将 $π n$ 和 $π + π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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