三角学示例

$\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\cos (x)$ 。

$\sqrt{3} \sin (x) = 1 - \cos (x)$

解题步骤 2

对等式两边进行平方。

${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2} = {(1 - \cos (x))}^{2}$

解题步骤 3

化简 ${(\sqrt{3} \sin (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

对 $\sqrt{3} \sin (x)$ 运用乘积法则。

${\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

解题步骤 3.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

解题步骤 3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

解题步骤 3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

约去公因数。

$3^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

解题步骤 3.2.4.2

重写表达式。

$3^{1} \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

解题步骤 3.2.5

计算指数。

$3 \sin^{2} (x) = {(1 - \cos (x))}^{2}$

解题步骤 4

化简 ${(1 - \cos (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

将 ${(1 - \cos (x))}^{2}$ 重写为 $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 。

$3 \sin^{2} (x) = (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$3 \sin^{2} (x) = 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x))$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$3 \sin^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$3 \sin^{2} (x) = 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

解题步骤 4.3.1.2

将 $- \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x))$

解题步骤 4.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x))$

解题步骤 4.3.1.4

乘以 $- \cos (x) (- \cos (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 4.3.1.4.2

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 4.3.1.4.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

解题步骤 4.3.1.4.4

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

解题步骤 4.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 4.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 4.3.2

从 $- \cos (x)$ 中减去 $\cos (x)$ 。

$3 \sin^{2} (x) = 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 5

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 \sin^{2} (x) - 1 = - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $2 \cos (x)$ 。

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) = \cos^{2} (x)$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $\cos^{2} (x)$ 。

$3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 6

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $3 (1 - \cos^{2} (x))$ 替换 $3 \sin^{2} (x)$ 。

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 7

化简每一项。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 7.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 7.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 - 3 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 8.1

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$- 3 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 8.2

从 $- 3 \cos^{2} (x)$ 中减去 $\cos^{2} (x)$ 。

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 9

重新排列多项式。

$- 4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 2 = 0$

解题步骤 10

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$- 4 {(u)}^{2} + 2 (u) + 2 = 0$

解题步骤 11

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 11.1

从 $- 4 u^{2} + 2 u + 2$ 中分解出因数 $- 2$ 。

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解题步骤 11.1.1

从 $- 4 u^{2}$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 = 0$

解题步骤 11.1.2

从 $2 u$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) + 2 = 0$

解题步骤 11.1.3

从 $2$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) - 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 11.1.4

从 $- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 11.1.5

从 $- 2 (2 u^{2} - u) - 2 (- 1)$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

解题步骤 11.2

因数。

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解题步骤 11.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 11.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 11.2.1.1.1

从 $- u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

解题步骤 11.2.1.1.2

把 $- 1$ 重写为 $1$ 加 $- 2$

$- 2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

解题步骤 11.2.1.1.3

运用分配律。

$- 2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

解题步骤 11.2.1.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

解题步骤 11.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 11.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

解题步骤 11.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- 2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

解题步骤 11.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u + 1$ 来因式分解多项式。

$- 2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

解题步骤 11.2.2

去掉多余的括号。

$- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

解题步骤 12

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

解题步骤 13

将 $2 u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 13.1

将 $2 u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 u + 1 = 0$

解题步骤 13.2

求解 $u$ 的 $2 u + 1 = 0$ 。

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解题步骤 13.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 u = - 1$

解题步骤 13.2.2

将 $2 u = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 13.2.2.1

将 $2 u = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 13.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 13.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 13.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 13.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 13.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1}{2}$

解题步骤 14

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 14.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 14.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 15

最终解为使 $- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = - \frac{1}{2}, 1$

解题步骤 16

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

解题步骤 17

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

解题步骤 18

在 $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 18.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 18.2

化简右边。

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解题步骤 18.2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 18.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 18.4

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 18.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 18.4.2

合并分数。

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解题步骤 18.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 18.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 18.4.3

化简分子。

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解题步骤 18.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 18.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 18.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 18.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 18.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 18.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 18.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 18.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 19

在 $\cos (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 19.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 19.2

化简右边。

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解题步骤 19.2.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 19.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 19.4

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 19.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 19.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 19.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 19.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 19.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 19.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 20

列出所有解。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 21

合并答案。

$x = \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 22

将每一个解代入 $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x) = 1$ 并求解从而对其进行验证。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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