三角学示例

$9 + 9 \sin (x) = 6 \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$9 \sin (x) = 6 \cos^{2} (x) - 9$

解题步骤 2

对等式两边进行平方。

${(9 \sin (x))}^{2} = {(6 \cos^{2} (x) - 9)}^{2}$

解题步骤 3

化简 ${(9 \sin (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

对 $9 \sin (x)$ 运用乘积法则。

$9^{2} \sin^{2} (x) = {(6 \cos^{2} (x) - 9)}^{2}$

解题步骤 3.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$81 \sin^{2} (x) = {(6 \cos^{2} (x) - 9)}^{2}$

解题步骤 4

化简 ${(6 \cos^{2} (x) - 9)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.1

将 ${(6 \cos^{2} (x) - 9)}^{2}$ 重写为 $(6 \cos^{2} (x) - 9) (6 \cos^{2} (x) - 9)$ 。

$81 \sin^{2} (x) = (6 \cos^{2} (x) - 9) (6 \cos^{2} (x) - 9)$

解题步骤 4.2

使用 FOIL 方法展开 $(6 \cos^{2} (x) - 9) (6 \cos^{2} (x) - 9)$ 。

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解题步骤 4.2.1

运用分配律。

$81 \sin^{2} (x) = 6 \cos^{2} (x) (6 \cos^{2} (x) - 9) - 9 (6 \cos^{2} (x) - 9)$

解题步骤 4.2.2

运用分配律。

$81 \sin^{2} (x) = 6 \cos^{2} (x) (6 \cos^{2} (x)) + 6 \cos^{2} (x) \cdot - 9 - 9 (6 \cos^{2} (x) - 9)$

解题步骤 4.2.3

运用分配律。

$81 \sin^{2} (x) = 6 \cos^{2} (x) (6 \cos^{2} (x)) + 6 \cos^{2} (x) \cdot - 9 - 9 (6 \cos^{2} (x)) - 9 \cdot - 9$

解题步骤 4.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$81 \sin^{2} (x) = 6 \cdot 6 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) + 6 \cos^{2} (x) \cdot - 9 - 9 (6 \cos^{2} (x)) - 9 \cdot - 9$

解题步骤 4.3.1.2

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$81 \sin^{2} (x) = 6 \cdot 6 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 6 \cos^{2} (x) \cdot - 9 - 9 (6 \cos^{2} (x)) - 9 \cdot - 9$

解题步骤 4.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$81 \sin^{2} (x) = 6 \cdot 6 {\cos (x)}^{2 + 2} + 6 \cos^{2} (x) \cdot - 9 - 9 (6 \cos^{2} (x)) - 9 \cdot - 9$

解题步骤 4.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$81 \sin^{2} (x) = 6 \cdot 6 \cos^{4} (x) + 6 \cos^{2} (x) \cdot - 9 - 9 (6 \cos^{2} (x)) - 9 \cdot - 9$

解题步骤 4.3.1.3

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$81 \sin^{2} (x) = 36 \cos^{4} (x) + 6 \cos^{2} (x) \cdot - 9 - 9 (6 \cos^{2} (x)) - 9 \cdot - 9$

解题步骤 4.3.1.4

将 $- 9$ 乘以 $6$ 。

$81 \sin^{2} (x) = 36 \cos^{4} (x) - 54 \cos^{2} (x) - 9 (6 \cos^{2} (x)) - 9 \cdot - 9$

解题步骤 4.3.1.5

将 $6$ 乘以 $- 9$ 。

$81 \sin^{2} (x) = 36 \cos^{4} (x) - 54 \cos^{2} (x) - 54 \cos^{2} (x) - 9 \cdot - 9$

解题步骤 4.3.1.6

将 $- 9$ 乘以 $- 9$ 。

$81 \sin^{2} (x) = 36 \cos^{4} (x) - 54 \cos^{2} (x) - 54 \cos^{2} (x) + 81$

解题步骤 4.3.2

从 $- 54 \cos^{2} (x)$ 中减去 $54 \cos^{2} (x)$ 。

$81 \sin^{2} (x) = 36 \cos^{4} (x) - 108 \cos^{2} (x) + 81$

解题步骤 5

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $36 \cos^{4} (x)$ 。

$81 \sin^{2} (x) - 36 \cos^{4} (x) = - 108 \cos^{2} (x) + 81$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $108 \cos^{2} (x)$ 。

$81 \sin^{2} (x) - 36 \cos^{4} (x) + 108 \cos^{2} (x) = 81$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $81$ 。

$81 \sin^{2} (x) - 36 \cos^{4} (x) + 108 \cos^{2} (x) - 81 = 0$

解题步骤 6

化简 $81 \sin^{2} (x) - 36 \cos^{4} (x) + 108 \cos^{2} (x) - 81$ 。

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解题步骤 6.1

移动 $- 81$ 。

$81 \sin^{2} (x) - 81 - 36 \cos^{4} (x) + 108 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 6.2

将 $81 \sin^{2} (x)$ 和 $- 81$ 重新排序。

$- 81 + 81 \sin^{2} (x) - 36 \cos^{4} (x) + 108 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 6.3

从 $- 81$ 中分解出因数 $- 81$ 。

$- 81 (1) + 81 \sin^{2} (x) - 36 \cos^{4} (x) + 108 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 6.4

从 $81 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 81$ 。

$- 81 (1) - 81 (- \sin^{2} (x)) - 36 \cos^{4} (x) + 108 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 6.5

从 $- 81 (1) - 81 (- \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 81$ 。

$- 81 (1 - \sin^{2} (x)) - 36 \cos^{4} (x) + 108 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 6.6

使用勾股恒等式。

$- 81 \cos^{2} (x) - 36 \cos^{4} (x) + 108 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 6.7

将 $- 81 \cos^{2} (x)$ 和 $108 \cos^{2} (x)$ 相加。

$27 \cos^{2} (x) - 36 \cos^{4} (x) = 0$

解题步骤 7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.1.1

将 $\cos^{4} (x)$ 重写为 ${(\cos^{2} (x))}^{2}$ 。

$27 \cos^{2} (x) - 36 {(\cos^{2} (x))}^{2} = 0$

解题步骤 7.1.2

使 $u = \cos^{2} (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cos^{2} (x)$ 。

$27 u - 36 u^{2} = 0$

解题步骤 7.1.3

从 $27 u - 36 u^{2}$ 中分解出因数 $9 u$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

从 $27 u$ 中分解出因数 $9 u$ 。

$9 u (3) - 36 u^{2} = 0$

解题步骤 7.1.3.2

从 $- 36 u^{2}$ 中分解出因数 $9 u$ 。

$9 u (3) + 9 u (- 4 u) = 0$

解题步骤 7.1.3.3

从 $9 u (3) + 9 u (- 4 u)$ 中分解出因数 $9 u$ 。

$9 u (3 - 4 u) = 0$

解题步骤 7.1.4

使用 $\cos^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$9 \cos^{2} (x) (3 - 4 \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos^{2} (x) = 0$

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 7.3

将 $\cos^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $\cos^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 7.3.2

求解 $x$ 的 $\cos^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 7.3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 7.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 7.3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (x) = \pm 0$

解题步骤 7.3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 7.3.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 7.3.2.4

化简右边。

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解题步骤 7.3.2.4.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 7.3.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.3.2.6

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 7.3.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.3.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 7.3.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.3.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 7.3.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.2.6.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 7.3.2.6.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 7.3.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.3.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.3.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.3.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.3.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.3.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.4

将 $3 - 4 \cos^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $3 - 4 \cos^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 7.4.2

求解 $x$ 的 $3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

解题步骤 7.4.2.2

将 $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 7.4.2.2.1

将 $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

解题步骤 7.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.4.2.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

解题步骤 7.4.2.2.2.1.2

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

解题步骤 7.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.4.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

解题步骤 7.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

解题步骤 7.4.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ 。

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解题步骤 7.4.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{3}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 7.4.2.4.2

化简分母。

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解题步骤 7.4.2.4.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 7.4.2.4.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.4.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.7

在 $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.4.2.7.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.4.2.7.2

化简右边。

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解题步骤 7.4.2.7.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$x = \frac{π}{6}$

解题步骤 7.4.2.7.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.4.2.7.4

化简 $2 π - \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 7.4.2.7.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.4.2.7.4.2

合并分数。

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解题步骤 7.4.2.7.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 7.4.2.7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 7.4.2.7.4.3

化简分子。

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解题步骤 7.4.2.7.4.3.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 7.4.2.7.4.3.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 7.4.2.7.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.4.2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.4.2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.4.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.4.2.7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.4.2.7.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.4.2.8

在 $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.4.2.8.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.4.2.8.2

化简右边。

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解题步骤 7.4.2.8.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{5 π}{6}$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 7.4.2.8.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 7.4.2.8.4

化简 $2 π - \frac{5 π}{6}$ 。

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解题步骤 7.4.2.8.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 7.4.2.8.4.2

合并分数。

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解题步骤 7.4.2.8.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 7.4.2.8.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

解题步骤 7.4.2.8.4.3

化简分子。

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解题步骤 7.4.2.8.4.3.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

解题步骤 7.4.2.8.4.3.2

从 $12 π$ 中减去 $5 π$ 。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 7.4.2.8.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.4.2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.4.2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.4.2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.4.2.8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.4.2.8.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.4.2.9

列出所有解。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.4.2.10

合并解集。

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解题步骤 7.4.2.10.1

将 $\frac{π}{6} + 2 π n$ 和 $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.4.2.10.2

将 $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ 和 $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ 合并为 $\frac{5 π}{6} + π n$ 。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.5

最终解为使 $9 \cos^{2} (x) (3 - 4 \cos^{2} (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并答案。

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解题步骤 8.1

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.2

合并答案。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

将每一个解代入 $9 + 9 \sin (x) = 6 \cos^{2} (x)$ 并求解从而对其进行验证。

$x = \frac{7 π}{6} + \frac{π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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