三角学示例

$4 (1 + \sin (x)) = \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{4 (1 + \sin (x))}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 2

使用分子中的等效表达式替换 $\cos (x)$ 。

$4 (1 + \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 3

运用分配律。

$(4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 5

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(4 + 4 \sin (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 6

运用分配律。

$4 (\frac{1}{\cos (x)}) + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 7

组合 $4$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 8

乘以 $4 \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ 。

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解题步骤 8.1

组合 $\frac{1}{\cos (x)}$ 和 $4$ 。

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \sin (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 8.2

组合 $\frac{4}{\cos (x)}$ 和 $\sin (x)$ 。

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 9

化简每一项。

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解题步骤 9.1

分离分数。

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 9.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\frac{4}{1} \cdot \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 9.3

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 \sec (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 9.4

分离分数。

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 9.5

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$4 \sec (x) + \frac{4}{1} \cdot \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 9.6

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 10

约去 $\cos^{2} (x)$ 和 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 10.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

解题步骤 10.2

约去公因数。

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解题步骤 10.2.1

乘以 $1$ 。

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

解题步骤 10.2.2

约去公因数。

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1}$

解题步骤 10.2.3

重写表达式。

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \frac{\cos (x)}{1}$

解题步骤 10.2.4

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$4 \sec (x) + 4 \tan (x) = \cos (x)$

解题步骤 11

化简左边。

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解题步骤 11.1

化简每一项。

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解题步骤 11.1.1

将 $\sec (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$4 \frac{1}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

解题步骤 11.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{\cos (x)}$ 。

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \tan (x) = \cos (x)$

解题步骤 11.1.3

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{4}{\cos (x)} + 4 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

解题步骤 11.1.4

组合 $4$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x)$

解题步骤 12

等式两边同时乘以 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (\frac{4}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 13

运用分配律。

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 14

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

约去公因数。

$\cos (x) \frac{4}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 14.2

重写表达式。

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 15

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 15.1

约去公因数。

$4 + \cos (x) \frac{4 \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 15.2

重写表达式。

$4 + 4 \sin (x) = \cos (x) \cos (x)$

解题步骤 16

乘以 $\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 16.1

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos (x)$

解题步骤 16.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

解题步骤 16.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 + 4 \sin (x) = {\cos (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 16.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 + 4 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

解题步骤 17

从等式两边同时减去 $\cos^{2} (x)$ 。

$4 + 4 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 18

使用 $1 - \sin^{2} (x)$ 替换 $\cos^{2} (x)$ 。

$4 + 4 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 19

求解 $x$ 。

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解题步骤 19.1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$4 + 4 (u) - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

解题步骤 19.2

化简 $4 + 4 u - (1 - u^{2})$ 。

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解题步骤 19.2.1

化简每一项。

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解题步骤 19.2.1.1

运用分配律。

$4 + 4 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

解题步骤 19.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 + 4 u - 1 - - u^{2} = 0$

解题步骤 19.2.1.3

乘以 $- - u^{2}$ 。

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解题步骤 19.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 + 4 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

解题步骤 19.2.1.3.2

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$4 + 4 u - 1 + u^{2} = 0$

解题步骤 19.2.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$4 u + 3 + u^{2} = 0$

解题步骤 19.3

使用 AC 法来对 $4 u + 3 + u^{2}$ 进行因式分解。

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解题步骤 19.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $4$ 。

$1, 3$

解题步骤 19.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u + 1) (u + 3) = 0$

解题步骤 19.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

$u + 3 = 0$

解题步骤 19.5

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 19.5.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 19.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 19.6

将 $u + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 19.6.1

将 $u + 3$ 设为等于 $0$ 。

$u + 3 = 0$

解题步骤 19.6.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$u = - 3$

解题步骤 19.7

最终解为使 $(u + 1) (u + 3) = 0$ 成立的所有值。

$u = - 1, - 3$

解题步骤 19.8

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = - 1, - 3$

解题步骤 19.9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = - 3$

解题步骤 19.10

在 $\sin (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 19.10.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 19.10.2

化简右边。

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解题步骤 19.10.2.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 19.10.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 19.10.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 19.10.4.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 19.10.4.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 19.10.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 19.10.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 19.10.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 19.10.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 19.10.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 19.10.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 19.10.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 19.10.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 19.10.6.3

合并分数。

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解题步骤 19.10.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 19.10.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 19.10.6.4

化简分子。

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解题步骤 19.10.6.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 19.10.6.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 19.10.6.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 19.10.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 19.11

在 $\sin (x) = - 3$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 19.11.1

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- 3$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 19.12

列出所有解。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 19.13

合并答案。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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