三角学示例

$\log_{2} ({(x)}^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\log_{2} (x^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $\log_{2} (x^{2}) + 2 \log_{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log_{2} (x)$ 。

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (x^{2}) = 15$

解题步骤 2.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{2} (x^{2} x^{2}) = 15$

解题步骤 2.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\log_{2} (x^{2 + 2}) = 15$

解题步骤 2.1.3.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\log_{2} (x^{4}) = 15$

解题步骤 3

以指数形式书写。

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解题步骤 3.1

对于对数方程，只要满足 $x > 0$ 、 $b > 0$ 和 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 和 $b^{y} = x$ 是等价的。在本例中， $b = 2$ 、 $x = x^{4}$ 和 $y = 15$ 。

$b = 2$

$x = x^{4}$

$y = 15$

解题步骤 3.2

将 $b$ 、 $x$ 和 $y$ 的值代入方程 $b^{y} = x$ 。

$2^{15} = x^{4}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $x^{4} = 2^{15}$ 。

$x^{4} = 2^{15}$

解题步骤 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{2^{15}}$

解题步骤 4.3

化简 $\pm \sqrt[4]{2^{15}}$ 。

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解题步骤 4.3.1

对 $2$ 进行 $15$ 次方运算。

$x = \pm \sqrt[4]{32768}$

解题步骤 4.3.2

将 $32768$ 重写为 $8^{4} \cdot 8$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $32768$ 中分解出因数 $4096$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{4096 (8)}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $4096$ 重写为 $8^{4}$ 。

$x = \pm \sqrt[4]{8^{4} \cdot 8}$

解题步骤 4.3.3

从根式下提出各项。

$x = \pm 8 \sqrt[4]{8}$

解题步骤 4.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

解题步骤 4.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 8 \sqrt[4]{8}$

解题步骤 4.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 8 \sqrt[4]{8}, - 8 \sqrt[4]{8}$

解题步骤 5

排除不能使 $\log_{2} ({(x)}^{2}) + 2 \log_{2} (x) = 15$ 成立的解。

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 8 \sqrt[4]{8}$

小数形式：

$x = 13.45434264 \dots$

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