三角学示例

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} = 6$

解题步骤 1

两边同时乘以 $10^{x} - 10^{- x}$ 。

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} (10^{x} - 10^{- x}) = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简左边。

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解题步骤 2.1.1

约去 $10^{x} - 10^{- x}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{10^{x} + 10^{- x}}{10^{x} - 10^{- x}} (10^{x} - 10^{- x}) = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

解题步骤 2.1.1.2

重写表达式。

$10^{x} + 10^{- x} = 6 (10^{x} - 10^{- x})$

解题步骤 2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1

化简 $6 (10^{x} - 10^{- x})$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

运用分配律。

$10^{x} + 10^{- x} = 6 \cdot 10^{x} + 6 (- 10^{- x})$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$10^{x} + 10^{- x} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $10^{- x}$ 重写为乘方形式。

$10^{x} + {(10^{x})}^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

解题步骤 3.2

代入 $u$ 替换 $10^{x}$ 。

$u + u^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

解题步骤 3.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

解题步骤 3.4

将 $10^{- x}$ 重写为乘方形式。

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot {(10^{x})}^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

解题步骤 3.5

代入 $u$ 替换 $10^{x}$ 。

$u + \frac{1}{u} = 6 \cdot u - 6 \cdot u^{- 1} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

解题步骤 3.6

化简每一项。

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解题步骤 3.6.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u + \frac{1}{u} = 6 u - 6 \cdot \frac{1}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

解题步骤 3.6.2

组合 $- 6$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$u + \frac{1}{u} = 6 u + \frac{- 6}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

解题步骤 3.6.3

将负号移到分数的前面。

$u + \frac{1}{u} = 6 u - \frac{6}{u} = 6 \cdot 10^{x} - 6 \cdot 10^{- x}$

解题步骤 3.7

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.7.1

从等式两边同时减去 $6 \cdot 10^{x}$ 。

$10^{x} + 10^{- x} - 6 \cdot 10^{x} = - 6 \cdot 10^{- x}$

解题步骤 3.7.2

在等式两边都加上 $6 \cdot 10^{- x}$ 。

$10^{x} + 10^{- x} - 6 \cdot 10^{x} + 6 \cdot 10^{- x} = 0$

解题步骤 3.7.3

从 $10^{x}$ 中减去 $6 \cdot 10^{x}$ 。

$10^{- x} - 5 \cdot 10^{x} + 6 \cdot 10^{- x} = 0$

解题步骤 3.7.4

将 $10^{- x}$ 和 $6 \cdot 10^{- x}$ 相加。

$7 \cdot 10^{- x} - 5 \cdot 10^{x} = 0$

解题步骤 3.8

将 $10^{- x}$ 重写为乘方形式。

$7 \cdot {(10^{x})}^{- 1} - 5 \cdot 10^{x} = 0$

解题步骤 3.9

代入 $u$ 替换 $10^{x}$ 。

$7 \cdot u^{- 1} - 5 \cdot u = 0$

解题步骤 3.10

化简每一项。

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解题步骤 3.10.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$7 \cdot \frac{1}{u} - 5 \cdot u = 0$

解题步骤 3.10.2

组合 $7$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{7}{u} - 5 u = 0$

解题步骤 3.11

将 $\frac{7}{u}$ 和 $- 5 u$ 重新排序。

$- 5 u + \frac{7}{u} = 0$

解题步骤 3.12

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.12.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.12.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, u, 1$

解题步骤 3.12.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 3.12.2

将 $- 5 u + \frac{7}{u} = 0$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 3.12.2.1

将 $- 5 u + \frac{7}{u} = 0$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$- 5 u \cdot u + \frac{7}{u} u = 0 u$

解题步骤 3.12.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.12.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.12.2.2.1.1

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 3.12.2.2.1.1.1

移动 $u$ 。

$- 5 (u \cdot u) + \frac{7}{u} u = 0 u$

解题步骤 3.12.2.2.1.1.2

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$- 5 u^{2} + \frac{7}{u} u = 0 u$

解题步骤 3.12.2.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 3.12.2.2.1.2.1

约去公因数。

$- 5 u^{2} + \frac{7}{u} u = 0 u$

解题步骤 3.12.2.2.1.2.2

重写表达式。

$- 5 u^{2} + 7 = 0 u$

解题步骤 3.12.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.12.2.3.1

将 $0$ 乘以 $u$ 。

$- 5 u^{2} + 7 = 0$

解题步骤 3.12.3

求解方程。

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解题步骤 3.12.3.1

从等式两边同时减去 $7$ 。

$- 5 u^{2} = - 7$

解题步骤 3.12.3.2

将 $- 5 u^{2} = - 7$ 中的每一项除以 $- 5$ 并化简。

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解题步骤 3.12.3.2.1

将 $- 5 u^{2} = - 7$ 中的每一项都除以 $- 5$ 。

$\frac{- 5 u^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

解题步骤 3.12.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.12.3.2.2.1

约去 $- 5$ 的公因数。

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解题步骤 3.12.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 5 u^{2}}{- 5} = \frac{- 7}{- 5}$

解题步骤 3.12.3.2.2.1.2

用 $u^{2}$ 除以 $1$ 。

$u^{2} = \frac{- 7}{- 5}$

解题步骤 3.12.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.12.3.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$u^{2} = \frac{7}{5}$

解题步骤 3.12.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{\frac{7}{5}}$

解题步骤 3.12.3.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{7}{5}}$ 。

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解题步骤 3.12.3.4.1

将 $\sqrt{\frac{7}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ 。

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 3.12.3.4.2

将 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 3.12.3.4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.12.3.4.3.1

将 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 3.12.3.4.3.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 3.12.3.4.3.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 3.12.3.4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.12.3.4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 3.12.3.4.3.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 3.12.3.4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.12.3.4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.12.3.4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.12.3.4.3.6.4.1

约去公因数。

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.12.3.4.3.6.4.2

重写表达式。

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 3.12.3.4.3.6.5

计算指数。

$u = \pm \frac{\sqrt{7} \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 3.12.3.4.4

化简分子。

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解题步骤 3.12.3.4.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$u = \pm \frac{\sqrt{7 \cdot 5}}{5}$

解题步骤 3.12.3.4.4.2

将 $7$ 乘以 $5$ 。

$u = \pm \frac{\sqrt{35}}{5}$

解题步骤 3.12.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.12.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$u = \frac{\sqrt{35}}{5}$

解题步骤 3.12.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$u = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

解题步骤 3.12.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$u = \frac{\sqrt{35}}{5}, - \frac{\sqrt{35}}{5}$

解题步骤 3.13

代入 $\frac{\sqrt{35}}{5}$ 替换 $u = 10^{x}$ 中的 $u$ 。

$\frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$

解题步骤 3.14

求解 $\frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$ 。

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解题步骤 3.14.1

将方程重写为 $10^{x} = \frac{\sqrt{35}}{5}$ 。

$10^{x} = \frac{\sqrt{35}}{5}$

解题步骤 3.14.2

方程两边同时取以 $10$ 为底的对数来去掉指数中的变量。

$\log (10^{x}) = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

解题步骤 3.14.3

展开左边。

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解题步骤 3.14.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\log (10^{x})$ 。

$x \log (10) = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

解题步骤 3.14.3.2

$10$ 的对数底 $10$ 的值为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

解题步骤 3.14.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

解题步骤 3.15

代入 $- \frac{\sqrt{35}}{5}$ 替换 $u = 10^{x}$ 中的 $u$ 。

$- \frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$

解题步骤 3.16

求解 $- \frac{\sqrt{35}}{5} = 10^{x}$ 。

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解题步骤 3.16.1

将方程重写为 $10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ 。

$10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$

解题步骤 3.16.2

方程两边同时取以 $10$ 为底的对数来去掉指数中的变量。

$\log (10^{x}) = \log (- \frac{\sqrt{35}}{5})$

解题步骤 3.16.3

因为 $\log (- \frac{\sqrt{35}}{5})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.16.4

$10^{x} = - \frac{\sqrt{35}}{5}$ 无解

无解

解题步骤 3.17

列出使方程成立的解。

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \log (\frac{\sqrt{35}}{5})$

小数形式：

$x = 0.07306401 \dots$

三角学 示例

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