三角学示例

${(\sin (2 x) + \cos (2 x))}^{2} = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $1$ 。

${(\sin (2 x) + \cos (2 x))}^{2} - 1 = 0$

解题步骤 2

化简等式左边。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

使用正弦倍角公式。

${(2 \sin (x) \cos (x) + \cos (2 x))}^{2} - 1 = 0$

解题步骤 2.1.1.2

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

${(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2} - 1 = 0$

解题步骤 2.1.2

将 ${(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$ 重写为 $(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x))$ 。

$(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x))$ 。

$2 \sin (x) \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.1

乘以 $2 \sin (x) \cos (x) (2 \sin (x) \cos (x))$ 。

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解题步骤 2.1.4.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) (\sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.1.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.1.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.1.4.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \sin^{2} (x) \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.1.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \sin^{2} (x) (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.1.7

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.1.4.1.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \sin^{2} (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.1.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.3

通过指数相加将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.4.3.1

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.3.2

将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1.4.3.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.1.4.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 (2 \sin (x) \cos (x)) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.5

将 $2 \sin (x) \cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 + 1 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.7

将 $- 2 \sin^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin (x) \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.8

通过指数相加将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 2.1.4.8.1

移动 $\sin (x)$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 (\sin (x) \sin^{2} (x)) (2 \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.8.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.4.8.2.1

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 2.1.4.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 2} (2 \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.8.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{3} (x) (2 \cos (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.9

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.10

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.11

使用乘法的交换性质重写。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.12

通过指数相加将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.4.12.1

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.12.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 {\sin (x)}^{2 + 2}) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.12.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (- 2 \sin^{4} (x)) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.4.13

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.5

将 $2 \sin (x) \cos (x)$ 和 $2 \sin (x) \cos (x)$ 相加。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{3} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.6

从 $- 4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 中减去 $4 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.7

从 $- 2 \sin^{2} (x)$ 中减去 $2 \sin^{2} (x)$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.8

移动 $- 4 \sin^{2} (x)$ 。

$4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.9

将 $4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ 和 $- 4 \sin^{2} (x)$ 重新排序。

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.10

从 $- 4 \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 4 \sin^{2} (x)$ 。

$- 4 \sin^{2} (x) \cdot 1 + 4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.11

从 $4 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 4 \sin^{2} (x)$ 。

$- 4 \sin^{2} (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) (- 1 \cos^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.12

从 $- 4 \sin^{2} (x) (1) - 4 \sin^{2} (x) (- 1 \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 4 \sin^{2} (x)$ 。

$- 4 \sin^{2} (x) (1 - 1 \cos^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.13

将 $- 1 \cos^{2} (x)$ 重写为 $- \cos^{2} (x)$ 。

$- 4 \sin^{2} (x) (1 - \cos^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.14

使用勾股恒等式。

$- 4 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.15

通过指数相加将 $\sin^{2} (x)$ 乘以 $\sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 2.1.15.1

移动 $\sin^{2} (x)$ 。

$- 4 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.15.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 4 {\sin (x)}^{2 + 2} + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.15.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$- 4 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x) - 1 = 0$

解题步骤 2.1.16

合并 $- 4 \sin^{4} (x) + 4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 4 \sin^{4} (x)$ 中相反的项。

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解题步骤 2.1.16.1

将 $- 4 \sin^{4} (x)$ 和 $4 \sin^{4} (x)$ 相加。

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 + 0 - 1 = 0$

解题步骤 2.1.16.2

将 $4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1$ 和 $0$ 相加。

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 1 = 0$

解题步骤 2.2

合并 $4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 0 = 0$

解题步骤 2.2.2

将 $4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 3

从 $4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $4 \sin (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 3.1

从 $4 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $4 \sin (x) \cos (x)$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

解题步骤 3.2

从 $- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $4 \sin (x) \cos (x)$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.3

从 $4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ 中分解出因数 $4 \sin (x) \cos (x)$ 。

$4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 5

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 5.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 5.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 6.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 6.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 6.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 6.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $1 - 2 \sin^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (x) = - 1$

解题步骤 7.2.2

将 $- 2 \sin^{2} (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- 2 \sin^{2} (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sin^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $\sin^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2}$

解题步骤 7.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.2.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.2.4.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.2.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.2.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.2.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 7.2.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.2.4.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.2.4.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 7.2.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.2.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 7.2.4.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.2.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.2.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.2.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.2.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.4.4.6.4.1

约去公因数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.2.4.4.6.4.2

重写表达式。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 7.2.4.4.6.5

计算指数。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.2.7

在 $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.2.7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.2.7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.7.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.7.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.7.4

化简 $π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 7.2.7.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.7.4.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.7.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 7.2.7.4.3

化简分子。

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解题步骤 7.2.7.4.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 7.2.7.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 7.2.7.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.2.7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.2.7.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.2.8

在 $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.2.8.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 7.2.8.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.8.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.8.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

解题步骤 7.2.8.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.2.8.4.1

从 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

解题步骤 7.2.8.4.2

得出的角 $\frac{5 π}{4}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 共边。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 7.2.8.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.2.8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.2.8.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 7.2.8.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + 2 π$

解题步骤 7.2.8.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.8.6.3

合并分数。

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解题步骤 7.2.8.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.8.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 7.2.8.6.4

化简分子。

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解题步骤 7.2.8.6.4.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 7.2.8.6.4.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{7 π}{4}$

解题步骤 7.2.8.6.5

列出新角。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 7.2.8.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.2.9

列出所有解。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.2.10

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

最终解为使 $4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

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解题步骤 9.1

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.2

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.3

将 $π n$ 和 $\frac{π}{2} + π n$ 合并为 $\frac{π n}{2}$ 。

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.4

合并答案。

$x = \frac{π n}{4}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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