三角学示例

$(\cot (x) + 1) \sin (x) = 0$

解题步骤 1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cot (x) + 1 = 0$

$\sin (x) = 0$

解题步骤 2

将 $\cot (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\cot (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (x) + 1 = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 的 $\cot (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cot (x) = - 1$

解题步骤 2.2.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (- 1)$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

$arccot (- 1)$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.2.4

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{3 π}{4} - π$

解题步骤 2.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $2 π$ 加上 $\frac{3 π}{4} - π$ 。

$x = \frac{3 π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 2.2.5.2

得出的角 $\frac{7 π}{4}$ 是正角度且与 $\frac{3 π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 2.2.6

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.2.7

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 3.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 3.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

最终解为使 $(\cot (x) + 1) \sin (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{7 π}{4} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

合并答案。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{3 π}{4} + π n$ 和 $\frac{7 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{3 π}{4} + π n$ 。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

排除不能使 $(\cot (x) + 1) \sin (x) = 0$ 成立的解。

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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