三角学示例

$\frac{1}{3} \cdot \tan^{3} (x) - \tan (x) = 0$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\tan (x)$ 。

$\frac{1}{3} {(u)}^{3} - (u) = 0$

解题步骤 2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $u^{3}$ 。

$\frac{u^{3}}{3} - u = 0$

解题步骤 3

将 $\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ 中的每一项乘以 $3$ 以消去分数。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{u^{3}}{3} - u = 0$ 中的每一项乘以 $3$ 。

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{u^{3}}{3} \cdot 3 - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

解题步骤 3.2.1.1.2

重写表达式。

$u^{3} - u \cdot 3 = 0 \cdot 3$

解题步骤 3.2.1.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$u^{3} - 3 u = 0 \cdot 3$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将 $0$ 乘以 $3$ 。

$u^{3} - 3 u = 0$

解题步骤 4

从 $u^{3} - 3 u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 4.1

从 $u^{3}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u^{2} - 3 u = 0$

解题步骤 4.2

从 $- 3 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u^{2} + u \cdot - 3 = 0$

解题步骤 4.3

从 $u \cdot u^{2} + u \cdot - 3$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (u^{2} - 3) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

解题步骤 6

将 $u$ 设为等于 $0$ 。

$u = 0$

解题步骤 7

将 $u^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 7.1

将 $u^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$u^{2} - 3 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $u$ 的 $u^{2} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$u^{2} = 3$

解题步骤 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 7.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$u = \sqrt{3}$

解题步骤 7.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$u = - \sqrt{3}$

解题步骤 7.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 8

最终解为使 $u (u^{2} - 3) = 0$ 成立的所有值。

$u = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 9

代入 $\tan (x)$ 替换 $u$ 。

$\tan (x) = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 10

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = 0$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 11

在 $\tan (x) = 0$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 11.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 11.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 11.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 11.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 11.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

在 $\tan (x) = \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 12.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{3}$

解题步骤 12.4

化简 $π + \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 12.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 12.4.2

合并分数。

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解题步骤 12.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 12.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

解题步骤 12.4.3

化简分子。

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解题步骤 12.4.3.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

解题步骤 12.4.3.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 12.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 12.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 12.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

在 $\tan (x) = - \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{3}$

解题步骤 13.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{3} - π$

解题步骤 13.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 13.4.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{3} - π$ 。

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

解题步骤 13.4.2

得出的角 $\frac{2 π}{3}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{3} - π$ 共边。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 13.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 13.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 13.6

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 13.6.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{π}{3} + π$

解题步骤 13.6.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 13.6.3

合并分数。

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解题步骤 13.6.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 13.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 13.6.4

化简分子。

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解题步骤 13.6.4.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 13.6.4.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 13.6.5

列出新角。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 13.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

列出所有解。

$x = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

合并答案。

$x = \frac{π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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