三角学示例

$12^{2 x + 5} = 55 (7^{3 x})$

解题步骤 1

取方程两边的对数。

$\ln (12^{2 x + 5}) = \ln (55 \cdot 7^{3 x})$

解题步骤 2

通过将 $2 x + 5$ 移到对数外来展开 $\ln (12^{2 x + 5})$ 。

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55 \cdot 7^{3 x})$

解题步骤 3

将 $\ln (55 \cdot 7^{3 x})$ 重写为 $\ln (55) + \ln (7^{3 x})$ 。

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55) + \ln (7^{3 x})$

解题步骤 4

通过将 $3 x$ 移到对数外来展开 $\ln (7^{3 x})$ 。

$(2 x + 5) \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

解题步骤 5

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

化简 $(2 x + 5) \ln (12)$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

运用分配律。

$2 x \ln (12) + 5 \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

解题步骤 5.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (12)$ 。

$x \ln (12^{2}) + 5 \ln (12) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

解题步骤 5.1.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (12)$ 。

$x \ln (12^{2}) + \ln (12^{5}) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

解题步骤 5.1.1.4

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1.4.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x \ln (144) + \ln (12^{5}) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

解题步骤 5.1.1.4.2

对 $12$ 进行 $5$ 次方运算。

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + 3 x \ln (7)$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (7)$ 。

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + x \ln (7^{3})$

解题步骤 5.2.1.2

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$x \ln (144) + \ln (248832) = \ln (55) + x \ln (343)$

解题步骤 5.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$x \ln (144) + \ln (248832) - \ln (55) - x \ln (343) = 0$

解题步骤 5.4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$x \ln (144) + \ln (\frac{248832}{55}) - x \ln (343) = 0$

解题步骤 5.5

从等式两边同时减去 $\ln (\frac{248832}{55})$ 。

$x \ln (144) - x \ln (343) = - \ln (\frac{248832}{55})$

解题步骤 5.6

从 $x \ln (144) - x \ln (343)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $x \ln (144)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (144)) - x \ln (343) = - \ln (\frac{248832}{55})$

解题步骤 5.6.2

从 $- x \ln (343)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (144)) + x (- 1 \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

解题步骤 5.6.3

从 $x (\ln (144)) + x (- 1 \ln (343))$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (144) - 1 \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

解题步骤 5.7

将 $- 1 \ln (343)$ 重写为 $- \ln (343)$ 。

$x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$

解题步骤 5.8

将 $x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$ 中的每一项除以 $\ln (144) - \ln (343)$ 并化简。

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解题步骤 5.8.1

将 $x (\ln (144) - \ln (343)) = - \ln (\frac{248832}{55})$ 中的每一项都除以 $\ln (144) - \ln (343)$ 。

$\frac{x (\ln (144) - \ln (343))}{\ln (144) - \ln (343)} = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

解题步骤 5.8.2

化简左边。

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解题步骤 5.8.2.1

约去 $\ln (144) - \ln (343)$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (\ln (144) - \ln (343))}{\ln (144) - \ln (343)} = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

解题步骤 5.8.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

解题步骤 5.8.3

化简右边。

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解题步骤 5.8.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{\ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{\ln (\frac{248832}{55})}{\ln (144) - \ln (343)}$

小数形式：

$x = 9.69816080 \dots$

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