三角学示例

${(10 \sqrt{3})}^{2} = {(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 (15 \sqrt{3}) (6 \sqrt{3}) \cos (c)$

解题步骤 1

将方程重写为 ${(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$ 。

${(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2

化简 ${(15 \sqrt{3})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c))$ 。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

对 $15 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$15^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.2

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$225 {\sqrt{3}}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$225 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$225 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$225 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.3.4.1

约去公因数。

$225 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.4.2

重写表达式。

$225 \cdot 3^{1} + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.3.5

计算指数。

$225 \cdot 3 + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.4

将 $225$ 乘以 $3$ 。

$675 + {(6 \sqrt{3})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.5

对 $6 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$675 + 6^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.6

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$675 + 36 {\sqrt{3}}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.7

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$675 + 36 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$675 + 36 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$675 + 36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.7.4.1

约去公因数。

$675 + 36 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.7.4.2

重写表达式。

$675 + 36 \cdot 3^{1} - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.7.5

计算指数。

$675 + 36 \cdot 3 - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.8

将 $36$ 乘以 $3$ 。

$675 + 108 - 2 \cdot (15 \sqrt{3}) \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.9

将 $15$ 乘以 $- 2$ 。

$675 + 108 - 30 \sqrt{3} \cdot (6 \sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.10

乘以 $- 30 \sqrt{3} (6 \sqrt{3} \cos (c))$ 。

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解题步骤 2.1.10.1

将 $6$ 乘以 $- 30$ 。

$675 + 108 - 180 \sqrt{3} (\sqrt{3} \cos (c)) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.10.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$675 + 108 - 180 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.10.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$675 + 108 - 180 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$675 + 108 - 180 {\sqrt{3}}^{1 + 1} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.10.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$675 + 108 - 180 {\sqrt{3}}^{2} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.11

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1.11.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$675 + 108 - 180 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.11.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.11.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.11.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.11.4.1

约去公因数。

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{\frac{2}{2}} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.11.4.2

重写表达式。

$675 + 108 - 180 \cdot 3^{1} \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.11.5

计算指数。

$675 + 108 - 180 \cdot 3 \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.1.12

将 $- 180$ 乘以 $3$ 。

$675 + 108 - 540 \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 2.2

将 $675$ 和 $108$ 相加。

$783 - 540 \cos (c) = {(10 \sqrt{3})}^{2}$

解题步骤 3

化简 ${(10 \sqrt{3})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

化简表达式。

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解题步骤 3.1.1

对 $10 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$783 - 540 \cos (c) = 10^{2} {\sqrt{3}}^{2}$

解题步骤 3.1.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$783 - 540 \cos (c) = 100 {\sqrt{3}}^{2}$

解题步骤 3.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$783 - 540 \cos (c) = 100 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.1

约去公因数。

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.2.4.2

重写表达式。

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3^{1}$

解题步骤 3.2.5

计算指数。

$783 - 540 \cos (c) = 100 \cdot 3$

解题步骤 3.3

将 $100$ 乘以 $3$ 。

$783 - 540 \cos (c) = 300$

解题步骤 4

将所有不包含 $\cos (c)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $783$ 。

$- 540 \cos (c) = 300 - 783$

解题步骤 4.2

从 $300$ 中减去 $783$ 。

$- 540 \cos (c) = - 483$

解题步骤 5

将 $- 540 \cos (c) = - 483$ 中的每一项除以 $- 540$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- 540 \cos (c) = - 483$ 中的每一项都除以 $- 540$ 。

$\frac{- 540 \cos (c)}{- 540} = \frac{- 483}{- 540}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $- 540$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 540 \cos (c)}{- 540} = \frac{- 483}{- 540}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $\cos (c)$ 除以 $1$ 。

$\cos (c) = \frac{- 483}{- 540}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

约去 $- 483$ 和 $- 540$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.1

从 $- 483$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\cos (c) = \frac{- 3 (161)}{- 540}$

解题步骤 5.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.1

从 $- 540$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\cos (c) = \frac{- 3 \cdot 161}{- 3 \cdot 180}$

解题步骤 5.3.1.2.2

约去公因数。

$\cos (c) = \frac{- 3 \cdot 161}{- 3 \cdot 180}$

解题步骤 5.3.1.2.3

重写表达式。

$\cos (c) = \frac{161}{180}$

解题步骤 6

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $c$ 。

$c = \arccos (\frac{161}{180})$

解题步骤 7

化简右边。

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解题步骤 7.1

计算 $\arccos (\frac{161}{180})$ 。

$c = 0.46360902$

解题步骤 8

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$c = 2 (3.14159265) - 0.46360902$

解题步骤 9

化简 $2 (3.14159265) - 0.46360902$ 。

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解题步骤 9.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$c = 6.2831853 - 0.46360902$

解题步骤 9.2

从 $6.2831853$ 中减去 $0.46360902$ 。

$c = 5.81957627$

解题步骤 10

求 $\cos (c)$ 的周期。

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解题步骤 10.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 10.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 10.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 10.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 11

$\cos (c)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$c = 0.46360902 + 2 π n, 5.81957627 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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