三角学示例

$\log_{4} (n) = \frac{1}{4} \cdot \log_{4} (81) + \frac{1}{2} \cdot \log_{4} (25)$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\log_{4} (81)$ 。

$\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{1}{2} \log_{4} (25)$

解题步骤 1.1.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\log_{4} (25)$ 。

$\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$

解题步骤 2

将 $\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$ 中的每一项乘以 $4$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} + \frac{\log_{4} (25)}{2}$ 中的每一项乘以 $4$ 。

$\log_{4} (n) \cdot 4 = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

将 $4$ 移到 $\log_{4} (n)$ 的左侧。

$4 \log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1.1

约去公因数。

$4 \log_{4} (n) = \frac{\log_{4} (81)}{4} \cdot 4 + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.1.2

重写表达式。

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot (2 (2))$

解题步骤 2.3.1.2.2

约去公因数。

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \frac{\log_{4} (25)}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

解题步骤 2.3.1.2.3

重写表达式。

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + \log_{4} (25) \cdot 2$

解题步骤 2.3.1.3

将 $2$ 移到 $\log_{4} (25)$ 的左侧。

$4 \log_{4} (n) = \log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$

解题步骤 3

化简左边。

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解题步骤 3.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \log_{4} (n)$ 。

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$

解题步骤 4

化简右边。

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解题步骤 4.1

化简 $\log_{4} (81) + 2 \log_{4} (25)$ 。

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解题步骤 4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log_{4} (25)$ 。

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + \log_{4} (25^{2})$

解题步骤 4.1.1.2

对 $25$ 进行 $2$ 次方运算。

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81) + \log_{4} (625)$

解题步骤 4.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (81 \cdot 625)$

解题步骤 4.1.3

将 $81$ 乘以 $625$ 。

$\log_{4} (n^{4}) = \log_{4} (50625)$

解题步骤 5

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$n^{4} = 50625$

解题步骤 6

求解 $n$ 。

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解题步骤 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$n = \pm \sqrt[4]{50625}$

解题步骤 6.2

化简 $\pm \sqrt[4]{50625}$ 。

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解题步骤 6.2.1

将 $50625$ 重写为 $15^{4}$ 。

$n = \pm \sqrt[4]{15^{4}}$

解题步骤 6.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$n = \pm 15$

解题步骤 6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$n = 15$

解题步骤 6.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$n = - 15$

解题步骤 6.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$n = 15, - 15$

解题步骤 7

排除不能使 $\log_{4} (n) = \frac{1}{4} \cdot \log_{4} (81) + \frac{1}{2} \cdot \log_{4} (25)$ 成立的解。

$n = 15$

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