三角学示例

$\csc^{2} (x) + 0.5 \cot (x) - 5 = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式的 $\cot^{2} (x) + 1$ 替换 $\csc^{2} (x)$ 。

$(\cot^{2} (x) + 1) + 0.5 \cot (x) - 5 = 0$

解题步骤 2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$\cot^{2} (x) + 0.5 \cot (x) - 4 = 0$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $\cot (x)$ 。

${(u)}^{2} + 0.5 (u) - 4 = 0$

解题步骤 4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5

将 $a = 1$ 、 $b = 0.5$ 和 $c = - 4$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 0.5 \pm \sqrt{{0.5}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{0.25 + 16}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3

将 $0.25$ 和 $16$ 相加。

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{16.25}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 0.5 \pm \sqrt{16.25}}{2}$

解题步骤 7

最终答案为两个解的组合。

$u = 1.76556443, - 2.26556443$

解题步骤 8

代入 $\cot (x)$ 替换 $u$ 。

$\cot (x) = 1.76556443, - 2.26556443$

解题步骤 9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cot (x) = 1.76556443$

$\cot (x) = - 2.26556443$

解题步骤 10

在 $\cot (x) = 1.76556443$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (1.76556443)$

解题步骤 10.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.1

计算 $arccot (1.76556443)$ 。

$x = 0.5153404$

解题步骤 10.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.5153404$

解题步骤 10.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 10.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.5153404$

解题步骤 10.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.5153404$

解题步骤 10.4.3

将 $3.14159265$ 和 $0.5153404$ 相加。

$x = 3.65693305$

解题步骤 10.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 10.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 10.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 10.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 10.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.5153404 + π n, 3.65693305 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

在 $\cot (x) = - 2.26556443$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (- 2.26556443)$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

计算 $arccot (- 2.26556443)$ 。

$x = 2.7259209$

解题步骤 11.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2.7259209 - (3.14159265)$

解题步骤 11.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 11.4.1

将 $2 π$ 加上 $2.7259209 - (3.14159265)$ 。

$x = 2.7259209 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 11.4.2

得出的角 $5.86751355$ 是正角度且与 $2.7259209 - (3.14159265)$ 共边。

$x = 5.86751355$

解题步骤 11.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 11.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 11.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

列出所有解。

$x = 0.5153404 + π n, 3.65693305 + π n, 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

合并解集。

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解题步骤 13.1

将 $0.5153404 + π n$ 和 $3.65693305 + π n$ 合并为 $0.5153404 + π n$ 。

$x = 0.5153404 + π n, 2.7259209 + π n, 5.86751355 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13.2

将 $2.7259209 + π n$ 和 $5.86751355 + π n$ 合并为 $2.7259209 + π n$ 。

$x = 0.5153404 + π n, 2.7259209 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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