三角学示例

$\cot^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

解题步骤 1

使用基于 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式的 $\csc^{2} (x) - 1$ 替换 $\cot^{2} (x)$ 。

$(\csc^{2} (x) - 1) (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(\csc^{2} (x) - 1) (\sec^{2} (x) - 1)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) - 1 (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 移到 $\csc^{2} (x)$ 的左侧。

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - 1 \cdot \csc^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

解题步骤 3.2

将 $- 1 \csc^{2} (x)$ 重写为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - 1 \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

解题步骤 3.3

将 $- 1 \sec^{2} (x)$ 重写为 $- \sec^{2} (x)$ 。

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

解题步骤 3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

解题步骤 4

化简左边。

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解题步骤 4.1

化简 $\csc^{2} (x) \sec^{2} (x) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1$ 。

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解题步骤 4.1.1

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1.1.1

从 $\csc^{2} (x) \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $\csc^{2} (x)$ 。

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) - \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

解题步骤 4.1.1.2

从 $- \csc^{2} (x)$ 中分解出因数 $\csc^{2} (x)$ 。

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

解题步骤 4.1.1.3

从 $\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\csc^{2} (x)$ 。

$\csc^{2} (x) (\sec^{2} (x) - 1) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

解题步骤 4.1.2

使用勾股恒等式。

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) + 1 = 1$

解题步骤 4.1.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.1.3.1

从 $- \sec^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x)) + 1 = 1$

解题步骤 4.1.3.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1 = 1$

解题步骤 4.1.3.3

从 $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = 1$

解题步骤 4.1.4

使用勾股恒等式。

$\csc^{2} (x) \tan^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

解题步骤 4.1.5

将 $\csc^{2} (x) \tan^{2} (x)$ 重写为 ${(\csc (x) \tan (x))}^{2}$ 。

${(\csc (x) \tan (x))}^{2} - \tan^{2} (x) = 1$

解题步骤 4.1.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \csc (x) \tan (x)$ 和 $b = \tan (x)$ 。

$(\csc (x) \tan (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.7

化简项。

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解题步骤 4.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.7.1.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.1.7.1.1.1

将 $\csc (x)$ 和 $\tan (x)$ 重新排序。

$(\tan (x) \csc (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.7.1.1.2

将 $\csc (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.7.1.1.3

约去公因数。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.7.1.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\csc (x) \tan (x) - \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.7.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.7.2.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 4.1.7.2.1.1

将 $\csc (x)$ 和 $\tan (x)$ 重新排序。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\tan (x) \csc (x) - \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.7.2.1.2

将 $\csc (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.7.2.1.3

约去公因数。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.7.2.2

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.8

使用 FOIL 方法展开 $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ 。

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解题步骤 4.1.8.1

运用分配律。

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.8.2

运用分配律。

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.8.3

运用分配律。

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.9

化简项。

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解题步骤 4.1.9.1

合并 $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.9.1.1

按照 $\sec (x) (- \tan (x))$ 和 $\tan (x) \sec (x)$ 重新排列因数。

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.9.1.2

将 $- \sec (x) \tan (x)$ 和 $\sec (x) \tan (x)$ 相加。

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.9.1.3

将 $\sec (x) \sec (x)$ 和 $0$ 相加。

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.9.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.9.2.1

乘以 $\sec (x) \sec (x)$ 。

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解题步骤 4.1.9.2.1.1

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.9.2.1.2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.9.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.9.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.9.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x) = 1$

解题步骤 4.1.9.2.3

乘以 $- \tan (x) \tan (x)$ 。

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解题步骤 4.1.9.2.3.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) = 1$

解题步骤 4.1.9.2.3.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) = 1$

解题步骤 4.1.9.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} = 1$

解题步骤 4.1.9.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) = 1$

解题步骤 4.1.10

使用勾股恒等式。

$1 = 1$

解题步骤 5

因为 $1 = 1$ ，所以方程对于 $x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

三角学 示例

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