三角学示例

$e^{2 x} - 7 e^{x} = 8$

解题步骤 1

将 $e^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(e^{x})}^{2} - 7 e^{x} = 8$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$u^{2} - 7 u = 8$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$u^{2} - 7 u - 8 = 0$

解题步骤 3.2

使用 AC 法来对 $u^{2} - 7 u - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $- 7$ 。

$- 8, 1$

解题步骤 3.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 8) (u + 1) = 0$

$(u - 8) (u + 1) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 8 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 3.4

将 $u - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $u - 8$ 设为等于 $0$ 。

$u - 8 = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$u = 8$

$u = 8$

解题步骤 3.5

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

$u = - 1$

解题步骤 3.6

最终解为使 $(u - 8) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 8, - 1$

$u = 8, - 1$

解题步骤 4

代入 $8$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$8 = e^{x}$

解题步骤 5

求解 $8 = e^{x}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $e^{x} = 8$ 。

$e^{x} = 8$

解题步骤 5.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

解题步骤 5.3

展开左边。

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解题步骤 5.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (8)$

解题步骤 5.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (8)$

解题步骤 5.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (8)$

$x = \ln (8)$

$x = \ln (8)$

解题步骤 6

代入 $- 1$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$- 1 = e^{x}$

解题步骤 7

求解 $- 1 = e^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $e^{x} = - 1$ 。

$e^{x} = - 1$

解题步骤 7.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 1)$

解题步骤 7.3

因为 $\ln (- 1)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 7.4

$e^{x} = - 1$ 无解

无解

无解

解题步骤 8

列出使方程成立的解。

$x = \ln (8)$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \ln (8)$

小数形式：

$x = 2.07944154 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$