三角学示例

$e^{2 x} - 30 e^{x} + 1 = 0$

解题步骤 1

将 $e^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(e^{x})}^{2} - 30 e^{x} + 1 = 0$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $e^{x}$ 。

$u^{2} - 30 u + 1 = 0$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 30$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.1

对 $- 30$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.1.3

从 $900$ 中减去 $4$ 。

$u = \frac{30 \pm \sqrt{896}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.1.4

将 $896$ 重写为 $8^{2} \cdot 14$ 。

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解题步骤 3.3.1.4.1

从 $896$ 中分解出因数 $64$ 。

$u = \frac{30 \pm \sqrt{64 (14)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.1.4.2

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$u = \frac{30 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$

解题步骤 3.3.3

化简 $\frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$ 。

$u = 15 \pm 4 \sqrt{14}$

解题步骤 3.4

最终答案为两个解的组合。

$u = 15 + 4 \sqrt{14}, 15 - 4 \sqrt{14}$

解题步骤 4

代入 $15 + 4 \sqrt{14}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$

解题步骤 5

求解 $15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$ 。

$e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$

解题步骤 5.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

解题步骤 5.3

展开左边。

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解题步骤 5.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

解题步骤 5.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

解题步骤 5.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

解题步骤 6

代入 $15 - 4 \sqrt{14}$ 替换 $u = e^{x}$ 中的 $u$ 。

$15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$

解题步骤 7

求解 $15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$ 。

$e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$

解题步骤 7.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

解题步骤 7.3

展开左边。

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解题步骤 7.3.1

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{x})$ 。

$x \ln (e) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

解题步骤 7.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$x \cdot 1 = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

解题步骤 7.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

解题步骤 8

列出使方程成立的解。

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

小数形式：

$x = 3.40008441 \dots, - 3.40008441 \dots$

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