三角学示例

$\sqrt{2 x - 2} = 1 + \sqrt{4 - x}$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 x - 2}}^{2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x - 2}$ 重写成 ${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

将 ${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 x - 2)}^{1} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

化简。

$2 x - 2 = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$ 。

$2 x - 2 = (1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$2 x - 2 = 1 (1 + \sqrt{4 - x}) + \sqrt{4 - x} (1 + \sqrt{4 - x})$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$2 x - 2 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} (1 + \sqrt{4 - x})$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$2 x - 2 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 2 = 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 $\sqrt{4 - x}$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $\sqrt{4 - x}$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4

乘以 $\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.4.1

对 $\sqrt{4 - x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} \sqrt{4 - x}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.2

对 $\sqrt{4 - x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} {\sqrt{4 - x}}^{1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1 + 1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5

将 ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ 重写为 $4 - x$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - x}$ 重写成 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.3.1.5.4.1

约去公因数。

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.4.2

重写表达式。

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{1}$

解题步骤 2.3.1.3.1.5.5

化简。

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 4 - x$

解题步骤 2.3.1.3.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$2 x - 2 = 5 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} - x$

解题步骤 2.3.1.3.3

将 $\sqrt{4 - x}$ 和 $\sqrt{4 - x}$ 相加。

$2 x - 2 = 5 + 2 \sqrt{4 - x} - x$

解题步骤 3

求解 $2 \sqrt{4 - x}$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $5 + 2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2$ 。

$5 + 2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $2 \sqrt{4 - x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2 - 5$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $x$ 。

$2 \sqrt{4 - x} = 2 x - 2 - 5 + x$

解题步骤 3.2.3

将 $2 x$ 和 $x$ 相加。

$2 \sqrt{4 - x} = 3 x - 2 - 5$

解题步骤 3.2.4

从 $- 2$ 中减去 $5$ 。

$2 \sqrt{4 - x} = 3 x - 7$

解题步骤 4

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{4 - x})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5

化简方程的两边。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - x}$ 重写成 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

化简 ${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3

将 ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(4 - x)}^{1} = {(3 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.4

化简。

$4 (4 - x) = {(3 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.5

运用分配律。

$4 \cdot 4 + 4 (- x) = {(3 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6

乘。

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解题步骤 5.2.1.6.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 + 4 (- x) = {(3 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5.2.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$16 - 4 x = {(3 x - 7)}^{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

化简 ${(3 x - 7)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1.1

将 ${(3 x - 7)}^{2}$ 重写为 $(3 x - 7) (3 x - 7)$ 。

$16 - 4 x = (3 x - 7) (3 x - 7)$

解题步骤 5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 x - 7) (3 x - 7)$ 。

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解题步骤 5.3.1.2.1

运用分配律。

$16 - 4 x = 3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)$

解题步骤 5.3.1.2.2

运用分配律。

$16 - 4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)$

解题步骤 5.3.1.2.3

运用分配律。

$16 - 4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

解题步骤 5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

解题步骤 5.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

解题步骤 5.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

解题步骤 5.3.1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$16 - 4 x = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

解题步骤 5.3.1.3.1.4

将 $- 7$ 乘以 $3$ 。

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

解题步骤 5.3.1.3.1.5

将 $3$ 乘以 $- 7$ 。

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7$

解题步骤 5.3.1.3.1.6

将 $- 7$ 乘以 $- 7$ 。

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49$

解题步骤 5.3.1.3.2

从 $- 21 x$ 中减去 $21 x$ 。

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 42 x + 49$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$9 x^{2} - 42 x + 49 = 16 - 4 x$

解题步骤 6.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $4 x$ 。

$9 x^{2} - 42 x + 49 + 4 x = 16$

解题步骤 6.2.2

将 $- 42 x$ 和 $4 x$ 相加。

$9 x^{2} - 38 x + 49 = 16$

解题步骤 6.3

从等式两边同时减去 $16$ 。

$9 x^{2} - 38 x + 49 - 16 = 0$

解题步骤 6.4

从 $49$ 中减去 $16$ 。

$9 x^{2} - 38 x + 33 = 0$

解题步骤 6.5

分组因式分解。

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解题步骤 6.5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 9 \cdot 33 = 297$ 并且它们的和为 $b = - 38$ 。

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解题步骤 6.5.1.1

从 $- 38 x$ 中分解出因数 $- 38$ 。

$9 x^{2} - 38 x + 33 = 0$

解题步骤 6.5.1.2

把 $- 38$ 重写为 $- 11$ 加 $- 27$

$9 x^{2} + (- 11 - 27) x + 33 = 0$

解题步骤 6.5.1.3

运用分配律。

$9 x^{2} - 11 x - 27 x + 33 = 0$

解题步骤 6.5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(9 x^{2} - 11 x) - 27 x + 33 = 0$

解题步骤 6.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (9 x - 11) - 3 (9 x - 11) = 0$

解题步骤 6.5.3

通过因式分解出最大公因数 $9 x - 11$ 来因式分解多项式。

$(9 x - 11) (x - 3) = 0$

解题步骤 6.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$9 x - 11 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 6.7

将 $9 x - 11$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.7.1

将 $9 x - 11$ 设为等于 $0$ 。

$9 x - 11 = 0$

解题步骤 6.7.2

求解 $x$ 的 $9 x - 11 = 0$ 。

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解题步骤 6.7.2.1

在等式两边都加上 $11$ 。

$9 x = 11$

解题步骤 6.7.2.2

将 $9 x = 11$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 6.7.2.2.1

将 $9 x = 11$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 x}{9} = \frac{11}{9}$

解题步骤 6.7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.7.2.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 x}{9} = \frac{11}{9}$

解题步骤 6.7.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{11}{9}$

解题步骤 6.8

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.8.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 6.8.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 6.9

最终解为使 $(9 x - 11) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{11}{9}, 3$

解题步骤 7

排除不能使 $\sqrt{2 x - 2} = 1 + \sqrt{4 - x}$ 成立的解。

$x = 3$

三角学 示例

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