三角学示例

$\tan^{2} (x) - 3 \tan (x) + 1 = 0$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\tan (x)$ 。

${(u)}^{2} - 3 u + 1 = 0$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将 $a = 1$ 、 $b = - 3$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 5

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6

代入 $\tan (x)$ 替换 $u$ 。

$\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 7

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

$\tan (x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 8

在 $\tan (x) = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

计算 $\arctan (\frac{3 + \sqrt{5}}{2})$ 。

$x = 1.20593249$

解题步骤 8.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 1.20593249$

解题步骤 8.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 1.20593249$

解题步骤 8.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 1.20593249$

解题步骤 8.4.3

将 $3.14159265$ 和 $1.20593249$ 相加。

$x = 4.34752515$

解题步骤 8.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 8.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 8.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.20593249 + π n, 4.34752515 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

在 $\tan (x) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$

解题步骤 9.2

化简右边。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\arctan (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})$ 。

$x = 0.36486382$

解题步骤 9.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.36486382$

解题步骤 9.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.36486382$

解题步骤 9.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.36486382$

解题步骤 9.4.3

将 $3.14159265$ 和 $0.36486382$ 相加。

$x = 3.50645648$

解题步骤 9.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 9.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 9.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.36486382 + π n, 3.50645648 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

列出所有解。

$x = 1.20593249 + π n, 4.34752515 + π n, 0.36486382 + π n, 3.50645648 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

合并解集。

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解题步骤 11.1

将 $1.20593249 + π n$ 和 $4.34752515 + π n$ 合并为 $1.20593249 + π n$ 。

$x = 1.20593249 + π n, 0.36486382 + π n, 3.50645648 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11.2

将 $0.36486382 + π n$ 和 $3.50645648 + π n$ 合并为 $0.36486382 + π n$ 。

$x = 1.20593249 + π n, 0.36486382 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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