三角学示例

$\tan^{2} (x) - 3 \sec (x) = - 3$

解题步骤 1

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $\sec^{2} (x) - 1$ 替换 $\tan^{2} (x)$ 。

$(\sec^{2} (x) - 1) - 3 \sec (x) = - 3$

解题步骤 2

重新排列多项式。

$\sec^{2} (x) - 3 \sec (x) - 1 = - 3$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $\sec (x)$ 。

${(u)}^{2} - 3 u - 1 = - 3$

解题步骤 4

在等式两边都加上 $3$ 。

$u^{2} - 3 u - 1 + 3 = 0$

解题步骤 5

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$u^{2} - 3 u + 2 = 0$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $u^{2} - 3 u + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $2$ ，和为 $- 3$ 。

$- 2, - 1$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 2) (u - 1) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

$u - 1 = 0$

解题步骤 8

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.1

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

解题步骤 8.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$u = 2$

解题步骤 9

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 9.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 9.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 10

最终解为使 $(u - 2) (u - 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 2, 1$

解题步骤 11

代入 $\sec (x)$ 替换 $u$ 。

$\sec (x) = 2, 1$

解题步骤 12

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = 1$

解题步骤 13

在 $\sec (x) = 2$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (2)$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

$arcsec (2)$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 13.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 13.4

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 13.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 13.4.2

合并分数。

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解题步骤 13.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 13.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 13.4.3

化简分子。

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解题步骤 13.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 13.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 13.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 13.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 13.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

在 $\sec (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (1)$

解题步骤 14.2

化简右边。

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解题步骤 14.2.1

$arcsec (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 14.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 14.4

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 14.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 14.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 14.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 14.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 14.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 14.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

将 $2 π n$ 和 $2 π + 2 π n$ 合并为 $2 π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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