三角学示例

$\tan^{2} (x) \cot (x) = 3$

解题步骤 1

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $\sec^{2} (x) - 1$ 替换 $\tan^{2} (x)$ 。

$(\sec^{2} (x) - 1) \cot (x) = 3$

解题步骤 2

运用分配律。

$\sec^{2} (x) \cot (x) - 1 \cot (x) = 3$

解题步骤 3

将 $- 1 \cot (x)$ 重写为 $- \cot (x)$ 。

$\sec^{2} (x) \cot (x) - \cot (x) = 3$

解题步骤 4

化简左边。

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解题步骤 4.1

化简 $\sec^{2} (x) \cot (x) - \cot (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $\sec^{2} (x) \cot (x) - \cot (x)$ 中分解出因数 $\cot (x)$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

从 $\sec^{2} (x) \cot (x)$ 中分解出因数 $\cot (x)$ 。

$\cot (x) \sec^{2} (x) - \cot (x) = 3$

解题步骤 4.1.1.2

从 $- \cot (x)$ 中分解出因数 $\cot (x)$ 。

$\cot (x) \sec^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 1 = 3$

解题步骤 4.1.1.3

从 $\cot (x) \sec^{2} (x) + \cot (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\cot (x)$ 。

$\cot (x) (\sec^{2} (x) - 1) = 3$

解题步骤 4.1.2

使用勾股恒等式。

$\cot (x) \tan^{2} (x) = 3$

解题步骤 4.1.3

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \tan^{2} (x) = 3$

解题步骤 4.1.4

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} = 3$

解题步骤 4.1.5

对 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 运用乘积法则。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} = 3$

解题步骤 4.1.6

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.6.1

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $\cos (x)$ 。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = 3$

解题步骤 4.1.6.2

约去公因数。

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} = 3$

解题步骤 4.1.6.3

重写表达式。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} = 3$

解题步骤 4.1.7

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.7.1

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 3$

解题步骤 4.1.7.2

约去公因数。

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} = 3$

解题步骤 4.1.7.3

重写表达式。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 3$

解题步骤 4.1.8

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) = 3$

解题步骤 5

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (3)$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

计算 $\arctan (3)$ 。

$x = 1.24904577$

解题步骤 7

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

解题步骤 8

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 1.24904577$

解题步骤 8.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 1.24904577$

解题步骤 8.3

将 $3.14159265$ 和 $1.24904577$ 相加。

$x = 4.39063842$

解题步骤 9

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 9.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 9.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 9.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 9.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 10

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.24904577 + π n, 4.39063842 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

将 $1.24904577 + π n$ 和 $4.39063842 + π n$ 合并为 $1.24904577 + π n$ 。

$x = 1.24904577 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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