三角学示例

$\sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $\sin^{4} (x)$ 重写为 ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ 。

${(\sin^{2} (x))}^{2} + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = \sin^{2} (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\sin^{2} (x)$ 。

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} + 2 u - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $2$ 。

$- 1, 3$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 1) (u + 3) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $\sin^{2} (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 3

将 $\sin^{2} (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\sin^{2} (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $\sin^{2} (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\sin^{2} (x) = 1$

解题步骤 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 3.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (x) = \pm 1$

解题步骤 3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x) = 1$

解题步骤 3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x) = 1, - 1$

解题步骤 3.2.5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = 1$

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 3.2.6

在 $\sin (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (1)$

解题步骤 3.2.6.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.6.2.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.2.6.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.2.6.4

化简 $π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.6.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.2.6.4.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.6.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.2.6.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 3.2.6.4.3

化简分子。

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解题步骤 3.2.6.4.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

解题步骤 3.2.6.4.3.2

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.2.6.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.6.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.2.6.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2.7

在 $\sin (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 3.2.7.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.7.2.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.2.7.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 3.2.7.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 3.2.7.4.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 3.2.7.4.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 3.2.7.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.2.7.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 3.2.7.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 3.2.7.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.2.7.6.3

合并分数。

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解题步骤 3.2.7.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.2.7.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 3.2.7.6.4

化简分子。

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解题步骤 3.2.7.6.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 3.2.7.6.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 3.2.7.6.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 3.2.7.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2.8

列出所有解。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.2.9

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\sin^{2} (x) + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sin^{2} (x) + 3$ 设为等于 $0$ 。

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\sin^{2} (x) + 3 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$\sin^{2} (x) = - 3$

解题步骤 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 3}$

解题步骤 4.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 3}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$\sin (x) = \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.6

在 $\sin (x) = i \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (i \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.6.2

$\arcsin (i \sqrt{3})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 4.2.7

在 $\sin (x) = - i \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- i \sqrt{3})$

解题步骤 4.2.7.2

$\arcsin (- i \sqrt{3})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 4.2.8

列出所有解。

无解

解题步骤 5

最终解为使 $(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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