三角学示例

$\sec^{2} (x) + 2 \tan (x) = 6$

解题步骤 1

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $1 + \tan^{2} (x)$ 替换 $\sec^{2} (x)$ 。

$(1 + \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x) = 6$

解题步骤 2

重新排列多项式。

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + 1 = 6$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $\tan (x)$ 。

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 6$

解题步骤 4

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$u^{2} + 2 u + 1 - 6 = 0$

解题步骤 4.2

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$u^{2} + 2 u - 5 = 0$

解题步骤 5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = - 5$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.3

将 $4$ 和 $20$ 相加。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.4

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 7.1.4.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$

解题步骤 7.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{2}$ 。

$u = - 1 \pm \sqrt{6}$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$u = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

解题步骤 9

代入 $\tan (x)$ 替换 $u$ 。

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{6}, - 1 - \sqrt{6}$

解题步骤 10

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{6}$

$\tan (x) = - 1 - \sqrt{6}$

解题步骤 11

在 $\tan (x) = - 1 + \sqrt{6}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将等式的右边转换为等值的小数形式。

$\tan (x) = 1.44948974$

解题步骤 11.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1.44948974)$

解题步骤 11.3

化简右边。

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解题步骤 11.3.1

计算 $\arctan (1.44948974)$ 。

$x = 0.96688248$

解题步骤 11.4

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.96688248$

解题步骤 11.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 11.5.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.96688248$

解题步骤 11.5.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.96688248$

解题步骤 11.5.3

将 $3.14159265$ 和 $0.96688248$ 相加。

$x = 4.10847514$

解题步骤 11.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 11.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 11.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 11.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 11.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.96688248 + π n, 4.10847514 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

在 $\tan (x) = - 1 - \sqrt{6}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将等式的右边转换为等值的小数形式。

$\tan (x) = - 3.44948974$

解题步骤 12.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 3.44948974)$

解题步骤 12.3

化简右边。

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解题步骤 12.3.1

计算 $\arctan (- 3.44948974)$ 。

$x = - 1.28863304$

解题步骤 12.4

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - 1.28863304 - (3.14159265)$

解题步骤 12.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 12.5.1

将 $2 π$ 加上 $- 1.28863304 - (3.14159265)$ 。

$x = - 1.28863304 - (3.14159265) + 2 π$

解题步骤 12.5.2

得出的角 $1.85295961$ 是正角度且与 $- 1.28863304 - (3.14159265)$ 共边。

$x = 1.85295961$

解题步骤 12.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 12.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 12.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 12.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 12.7

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 12.7.1

将 $π$ 加到 $- 1.28863304$ 以求正角。

$- 1.28863304 + π$

解题步骤 12.7.2

使用小数的近似值替换。

$3.14159265 - 1.28863304$

解题步骤 12.7.3

从 $3.14159265$ 中减去 $1.28863304$ 。

$1.85295961$

解题步骤 12.7.4

列出新角。

$x = 1.85295961$

解题步骤 12.8

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.85295961 + π n, 1.85295961 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

列出所有解。

$x = 0.96688248 + π n, 4.10847514 + π n, 1.85295961 + π n, 1.85295961 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

合并解集。

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解题步骤 14.1

将 $0.96688248 + π n$ 和 $4.10847514 + π n$ 合并为 $0.96688248 + π n$ 。

$x = 0.96688248 + π n, 1.85295961 + π n, 1.85295961 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14.2

将 $1.85295961 + π n$ 和 $1.85295961 + π n$ 合并为 $1.85295961 + π n$ 。

$x = 0.96688248 + π n, 1.85295961 + π n$ ，对于任意整数 $n$

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