三角学示例

$\sec^{2} (x) - 2 \tan^{2} (x) = - 2$

解题步骤 1

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $1 + \tan^{2} (x)$ 替换 $\sec^{2} (x)$ 。

$(1 + \tan^{2} (x)) - 2 \tan^{2} (x) = - 2$

解题步骤 2

从 $\tan^{2} (x)$ 中减去 $2 \tan^{2} (x)$ 。

$1 - \tan^{2} (x) = - 2$

解题步骤 3

重新排列多项式。

$- \tan^{2} (x) + 1 = - 2$

解题步骤 4

将所有不包含 $\tan (x)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \tan^{2} (x) = - 2 - 1$

解题步骤 4.2

从 $- 2$ 中减去 $1$ 。

$- \tan^{2} (x) = - 3$

解题步骤 5

将 $- \tan^{2} (x) = - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $- \tan^{2} (x) = - 3$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan^{2} (x)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 5.2.2

用 $\tan^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan^{2} (x) = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$\tan^{2} (x) = 3$

解题步骤 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 7.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 8

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 9

在 $\tan (x) = \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 9.2

化简右边。

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解题步骤 9.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 9.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{3}$

解题步骤 9.4

化简 $π + \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 9.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 9.4.2

合并分数。

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解题步骤 9.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 9.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

解题步骤 9.4.3

化简分子。

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解题步骤 9.4.3.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

解题步骤 9.4.3.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 9.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 9.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 9.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

在 $\tan (x) = - \sqrt{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

解题步骤 10.2

化简右边。

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解题步骤 10.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{3}$

解题步骤 10.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{3} - π$

解题步骤 10.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 10.4.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{3} - π$ 。

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

解题步骤 10.4.2

得出的角 $\frac{2 π}{3}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{3} - π$ 共边。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 10.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 10.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 10.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 10.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 10.6

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 10.6.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{π}{3} + π$

解题步骤 10.6.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 10.6.3

合并分数。

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解题步骤 10.6.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 10.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 10.6.4

化简分子。

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解题步骤 10.6.4.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 10.6.4.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 10.6.5

列出新角。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 10.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

合并解集。

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解题步骤 12.1

将 $\frac{π}{3} + π n$ 和 $\frac{4 π}{3} + π n$ 合并为 $\frac{π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12.2

将 $\frac{2 π}{3} + π n$ 和 $\frac{2 π}{3} + π n$ 合并为 $\frac{2 π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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