三角学示例

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{4}$ 。

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 2

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$1 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 3.2

将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 3.3

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 3.3.1

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$\cos^{2} (x) - (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{2} (x) - {\cos (x)}^{2 + 2} - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\cos^{2} (x) - \cos^{4} (x) - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 4

重新排列多项式。

$- \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 5

将 $u = \cos^{2} (x)$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$- u^{2} + u - \frac{1}{4} = 0$

$u = \cos^{2} (x)$

解题步骤 6

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.1

从 $- u^{2} + u - \frac{1}{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2}) + u - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 6.1.2

从 $u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2}) - 1 (- u) - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 6.1.3

从 $- \frac{1}{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2}) - 1 (- u) - (\frac{1}{4}) = 0$

解题步骤 6.1.4

从 $- (u^{2}) - 1 (- u)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4}) = 0$

解题步骤 6.1.5

从 $- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - u + \frac{1}{4}) = 0$

解题步骤 6.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{4}) = 0$

解题步骤 6.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{2^{2}}) = 0$

解题步骤 6.2.3

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 。

$- (u^{2} - u + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

解题步骤 6.2.4

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$u = 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 6.2.5

重写多项式。

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

解题步骤 6.2.6

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = \frac{1}{2}$ 。

$- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

解题步骤 7

将 $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- {(u - \frac{1}{2})}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{{(u - \frac{1}{2})}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 7.2.2

用 ${(u - \frac{1}{2})}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

解题步骤 8

将 $u - \frac{1}{2}$ 设为等于 $0$ 。

$u - \frac{1}{2} = 0$

解题步骤 9

在等式两边都加上 $\frac{1}{2}$ 。

$u = \frac{1}{2}$

解题步骤 10

将 $u = \cos^{2} (x)$ 的真实值代入回已解的方程中。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 11

求解 $\cos (x)$ 的方程。

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解题步骤 11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 11.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 11.2.1

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 11.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 11.2.3

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 11.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 11.2.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 11.2.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 11.2.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 11.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 11.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 11.2.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 11.2.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 11.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 11.2.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.2.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.4.6.4.1

约去公因数。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 11.2.4.6.4.2

重写表达式。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 11.2.4.6.5

计算指数。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 11.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 11.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 11.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 11.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 12

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 13

在 $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 13.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

解题步骤 13.4

化简 $2 π - \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 13.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 13.4.2

合并分数。

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解题步骤 13.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 13.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 13.4.3

化简分子。

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解题步骤 13.4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 13.4.3.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 13.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 13.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 13.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

在 $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 14.2

化简右边。

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解题步骤 14.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 14.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 14.4

化简 $2 π - \frac{3 π}{4}$ 。

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解题步骤 14.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 14.4.2

合并分数。

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解题步骤 14.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 14.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

解题步骤 14.4.3

化简分子。

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解题步骤 14.4.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

解题步骤 14.4.3.2

从 $8 π$ 中减去 $3 π$ 。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 14.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 14.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 14.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 14.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 14.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 14.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

列出所有解。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 16

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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