三角学示例

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

解题步骤 2

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$(1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

解题步骤 3

从 $- \cos^{2} (x)$ 中减去 $\cos^{2} (x)$ 。

$1 - 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

解题步骤 4

重新排列多项式。

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

解题步骤 5

将所有不包含 $\cos (x)$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6

将 $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

解题步骤 6.3.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

解题步骤 6.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.3.1.4

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 6.3.1.4.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.1.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

解题步骤 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

解题步骤 8

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$ 。

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解题步骤 8.1

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

解题步骤 8.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 8.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

解题步骤 8.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

解题步骤 8.3

在公分母上合并分子。

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

解题步骤 8.4

将 $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 8.5

化简分母。

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解题步骤 8.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 8.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

解题步骤 9

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 9.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

解题步骤 9.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

解题步骤 9.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

解题步骤 10

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

解题步骤 11

在 $\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

解题步骤 11.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.1

计算 $\arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ 。

$x = \frac{5 π}{12}$

解题步骤 11.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{5 π}{12}$

解题步骤 11.4

化简 $2 π - \frac{5 π}{12}$ 。

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解题步骤 11.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

解题步骤 11.4.2

合并分数。

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解题步骤 11.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

解题步骤 11.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

解题步骤 11.4.3

化简分子。

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解题步骤 11.4.3.1

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{24 π - 5 π}{12}$

解题步骤 11.4.3.2

从 $24 π$ 中减去 $5 π$ 。

$x = \frac{19 π}{12}$

解题步骤 11.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 11.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 11.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 11.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 11.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

在 $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

计算 $\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ 。

$x = \frac{7 π}{12}$

解题步骤 12.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{7 π}{12}$

解题步骤 12.4

化简 $2 π - \frac{7 π}{12}$ 。

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解题步骤 12.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{12}{12}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{7 π}{12}$

解题步骤 12.4.2

合并分数。

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解题步骤 12.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{12}{12}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{7 π}{12}$

解题步骤 12.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 7 π}{12}$

解题步骤 12.4.3

化简分子。

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解题步骤 12.4.3.1

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{24 π - 7 π}{12}$

解题步骤 12.4.3.2

从 $24 π$ 中减去 $7 π$ 。

$x = \frac{17 π}{12}$

解题步骤 12.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 12.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 12.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

列出所有解。

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

合并解集。

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解题步骤 14.1

将 $\frac{5 π}{12} + 2 π n$ 和 $\frac{17 π}{12} + 2 π n$ 合并为 $\frac{5 π}{12} + π n$ 。

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14.2

将 $\frac{19 π}{12} + 2 π n$ 和 $\frac{7 π}{12} + 2 π n$ 合并为 $\frac{7 π}{12} + π n$ 。

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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