三角学示例

$\sin^{2} (x) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$(1 - \cos^{2} (x)) + 3 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2

将 $- \cos^{2} (x)$ 和 $3 \cos^{2} (x)$ 相加。

$1 + 2 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 3

重新排列多项式。

$2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \cos^{2} (x) = - 1$

解题步骤 5

将 $2 \cos^{2} (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.1

将 $2 \cos^{2} (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos^{2} (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.1.2

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos^{2} (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 7

化简 $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- \frac{1}{2}$ 重写为 $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 7.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

解题步骤 7.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 7.2

从根式下提出各项。

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 7.3

一的任意次幂都为一。

$\cos (x) = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.4

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\cos (x) = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 7.6

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cos (x) = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 7.7

合并和化简分母。

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解题步骤 7.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.7.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 7.7.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 7.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 7.7.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 7.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.7.6.4.1

约去公因数。

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.7.6.4.2

重写表达式。

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 7.7.6.5

计算指数。

$\cos (x) = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 7.8

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\cos (x) = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 8.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 8.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 10

在 $\cos (x) = \frac{i \sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 10.2

$\arccos (\frac{i \sqrt{2}}{2})$ 的反余弦无定义。

无定义

解题步骤 11

在 $\cos (x) = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 11.2

$\arccos (- \frac{i \sqrt{2}}{2})$ 的反余弦无定义。

无定义

解题步骤 12

列出所有解。

无解

三角学 示例

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