三角学示例

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

化简 $\log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x (4 - x))$

解题步骤 1.1.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 1.1.2.1

运用分配律。

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x \cdot 4 + x (- x))$

解题步骤 1.1.2.2

重新排序。

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解题步骤 1.1.2.2.1

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 \cdot x + x (- x))$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 \cdot x - x \cdot x)$

解题步骤 1.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

移动 $x$ 。

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 x - (x \cdot x))$

解题步骤 1.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log_{3} (3 x) = \log_{3} (4 x - x^{2})$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$3 x = 4 x - x^{2}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$4 x - x^{2} = 3 x$

解题步骤 3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $3 x$ 。

$4 x - x^{2} - 3 x = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $4 x$ 中减去 $3 x$ 。

$- x^{2} + x = 0$

解题步骤 3.3

从 $- x^{2} + x$ 中分解出因数 $- x$ 。

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解题步骤 3.3.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x \cdot x + x = 0$

解题步骤 3.3.2

将 $x$ 重写为 $1 x$ 。

$- x \cdot x + 1 x = 0$

解题步骤 3.3.3

从 $1 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x \cdot x - x \cdot - 1 = 0$

解题步骤 3.3.4

从 $- x (x) - x (- 1)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (x - 1) = 0$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.5

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.6

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 3.7

最终解为使 $- x (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1$

解题步骤 4

排除不能使 $\log_{3} (3 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (4 - x)$ 成立的解。

$x = 1$

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