三角学示例

$\log_{2} (x + 3) = 3 - \log_{2} (x + 5)$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x + 5) = 3$

解题步骤 2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{2} ((x + 3) (x + 5)) = 3$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x + 5)$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\log_{2} (x (x + 5) + 3 (x + 5)) = 3$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 3 (x + 5)) = 3$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5) = 3$

解题步骤 4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5) = 3$

解题步骤 4.1.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$\log_{2} (x^{2} + 5 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 5) = 3$

解题步骤 4.1.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\log_{2} (x^{2} + 5 x + 3 x + 15) = 3$

解题步骤 4.2

将 $5 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\log_{2} (x^{2} + 8 x + 15) = 3$

解题步骤 5

使用对数的定义将 $\log_{2} (x^{2} + 8 x + 15) = 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$2^{3} = x^{2} + 8 x + 15$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $x^{2} + 8 x + 15 = 2^{3}$ 。

$x^{2} + 8 x + 15 = 2^{3}$

解题步骤 6.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{2} + 8 x + 15 = 8$

解题步骤 6.3

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x^{2} + 8 x + 15 - 8 = 0$

解题步骤 6.4

从 $15$ 中减去 $8$ 。

$x^{2} + 8 x + 7 = 0$

解题步骤 6.5

使用 AC 法来对 $x^{2} + 8 x + 7$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $7$ ，和为 $8$ 。

$1, 7$

解题步骤 6.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 1) (x + 7) = 0$

解题步骤 6.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x + 7 = 0$

解题步骤 6.7

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.7.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 6.7.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 6.8

将 $x + 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.8.1

将 $x + 7$ 设为等于 $0$ 。

$x + 7 = 0$

解题步骤 6.8.2

从等式两边同时减去 $7$ 。

$x = - 7$

解题步骤 6.9

最终解为使 $(x + 1) (x + 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, - 7$

解题步骤 7

排除不能使 $\log_{2} (x + 3) = 3 - \log_{2} (x + 5)$ 成立的解。

$x = - 1$

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