三角学示例

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$2 {(u)}^{2} - 2 u - 1 = 0$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将 $a = 2$ 、 $b = - 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.3

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.3

化简 $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8

在 $\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 9

在 $\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 9.2

化简右边。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ 。

$x = 1.94553075$

解题步骤 9.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

解题步骤 9.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.4.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

解题步骤 9.4.2

化简 $2 (3.14159265) - 1.94553075$ 。

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解题步骤 9.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 1.94553075$

解题步骤 9.4.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $1.94553075$ 。

$x = 4.33765454$

解题步骤 9.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 9.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 9.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

列出所有解。

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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