三角学示例

$2 \cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ 恒等式的 $2 (\csc^{2} (x) - 1)$ 替换 $2 \cot^{2} (x)$ 。

$2 (\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$2 \csc^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 3 \csc (x) = 0$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \csc^{2} (x) - 2 + 3 \csc (x) = 0$

解题步骤 3

重新排列多项式。

$2 \csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 2 = 0$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $\csc (x)$ 。

$2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

解题步骤 5

分组因式分解。

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解题步骤 5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $3 u$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

解题步骤 5.1.2

把 $3$ 重写为 $- 1$ 加 $4$

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

解题步骤 5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

解题步骤 5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

解题步骤 5.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

解题步骤 6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

解题步骤 7

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 7.1

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $u$ 的 $2 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 u = 1$

解题步骤 7.2.2

将 $2 u = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $2 u = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{2}$

解题步骤 8

将 $u + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.1

将 $u + 2$ 设为等于 $0$ 。

$u + 2 = 0$

解题步骤 8.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$u = - 2$

解题步骤 9

最终解为使 $(2 u - 1) (u + 2) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{2}, - 2$

解题步骤 10

代入 $\csc (x)$ 替换 $u$ 。

$\csc (x) = \frac{1}{2}, - 2$

解题步骤 11

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\csc (x) = \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

解题步骤 12

在 $\csc (x) = \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

余割函数值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。由于 $\frac{1}{2}$ 不在该范围内，所以无解。

无解

解题步骤 13

在 $\csc (x) = - 2$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- 2)$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

$arccsc (- 2)$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 13.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 13.4.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 13.4.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 13.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 13.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 13.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 13.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

解题步骤 13.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 13.6.3

合并分数。

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解题步骤 13.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 13.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 13.6.4

化简分子。

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解题步骤 13.6.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 13.6.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{6}$

解题步骤 13.6.5

列出新角。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 13.7

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

列出所有解。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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