三角学示例

$2 \sec^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

解题步骤 1

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $2 (1 + \tan^{2} (x))$ 替换 $2 \sec^{2} (x)$ 。

$2 (1 + \tan^{2} (x)) = 3 - \tan (x)$

解题步骤 2

运用分配律。

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

解题步骤 3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

解题步骤 4

重新排列多项式。

$2 \tan^{2} (x) + 2 = 3 - \tan (x)$

解题步骤 5

代入 $u$ 替换 $\tan (x)$ 。

$2 {(u)}^{2} + 2 = 3 - (u)$

解题步骤 6

在等式两边都加上 $u$ 。

$2 u^{2} + 2 + u = 3$

解题步骤 7

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 u^{2} + 2 + u - 3 = 0$

解题步骤 8

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

解题步骤 9

分组因式分解。

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解题步骤 9.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 9.1.1

乘以 $1$ 。

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

解题步骤 9.1.2

把 $1$ 重写为 $- 1$ 加 $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

解题步骤 9.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

解题步骤 9.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 9.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

解题步骤 9.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

解题步骤 9.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

解题步骤 10

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 11

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 11.1

将 $2 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 u - 1 = 0$

解题步骤 11.2

求解 $u$ 的 $2 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 u = 1$

解题步骤 11.2.2

将 $2 u = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $2 u = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 11.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 11.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 11.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{2}$

解题步骤 12

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 12.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 12.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 13

最终解为使 $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{2}, - 1$

解题步骤 14

代入 $\tan (x)$ 替换 $u$ 。

$\tan (x) = \frac{1}{2}, - 1$

解题步骤 15

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 16

在 $\tan (x) = \frac{1}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 16.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

解题步骤 16.2

化简右边。

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解题步骤 16.2.1

计算 $\arctan (\frac{1}{2})$ 。

$x = 0.4636476$

解题步骤 16.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

解题步骤 16.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 16.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

解题步骤 16.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

解题步骤 16.4.3

将 $3.14159265$ 和 $0.4636476$ 相加。

$x = 3.60524026$

解题步骤 16.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 16.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 16.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 16.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 16.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 16.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 17

在 $\tan (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 17.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 17.2

化简右边。

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解题步骤 17.2.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 17.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 17.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 17.4.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 17.4.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 17.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 17.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 17.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 17.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 17.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 17.6

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 17.6.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 17.6.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 17.6.3

合并分数。

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解题步骤 17.6.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 17.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 17.6.4

化简分子。

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解题步骤 17.6.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 17.6.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 17.6.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 17.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 18

列出所有解。

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 19

合并解集。

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解题步骤 19.1

将 $0.4636476 + π n$ 和 $3.60524026 + π n$ 合并为 $0.4636476 + π n$ 。

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 19.2

将 $\frac{3 π}{4} + π n$ 和 $\frac{3 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{3 π}{4} + π n$ 。

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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