三角学示例

$2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 6 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \sin (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\sin (x)$ 。

$2 u^{2} + u - 6 = 0$

解题步骤 1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 6 = - 12$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

乘以 $1$ 。

$2 u^{2} + 1 u - 6 = 0$

解题步骤 1.2.1.2

把 $1$ 重写为 $- 3$ 加 $4$

$2 u^{2} + (- 3 + 4) u - 6 = 0$

解题步骤 1.2.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} - 3 u + 4 u - 6 = 0$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 u^{2} - 3 u) + 4 u - 6 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (2 u - 3) + 2 (2 u - 3) = 0$

解题步骤 1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 3$ 来因式分解多项式。

$(2 u - 3) (u + 2) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(2 \sin (x) - 3) (\sin (x) + 2) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 \sin (x) - 3 = 0$

$\sin (x) + 2 = 0$

解题步骤 3

将 $2 \sin (x) - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 \sin (x) - 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin (x) - 3 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $2 \sin (x) - 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 \sin (x) = 3$

解题步骤 3.2.2

将 $2 \sin (x) = 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $2 \sin (x) = 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

解题步骤 3.2.3

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $\frac{3}{2}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 4

最终解为使 $(2 \sin (x) - 3) (\sin (x) + 2) = 0$ 成立的所有值。

无解

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