三角学示例

$2 \tan (x) = 1 - \tan^{2} (x)$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $\tan (x)$ 。

$2 (u) = 1 - {(u)}^{2}$

解题步骤 2

在等式两边都加上 $u^{2}$ 。

$2 u + u^{2} = 1$

解题步骤 3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 u + u^{2} - 1 = 0$

解题步骤 4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.3

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.4

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.1.4.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ 。

$u = - 1 \pm \sqrt{2}$

解题步骤 7

最终答案为两个解的组合。

$u = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 8

代入 $\tan (x)$ 替换 $u$ 。

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 9

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{2}$

$\tan (x) = - 1 - \sqrt{2}$

解题步骤 10

在 $\tan (x) = - 1 + \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

将等式的右边转换为等值的小数形式。

$\tan (x) = 0.41421356$

解题步骤 10.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0.41421356)$

解题步骤 10.3

化简右边。

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解题步骤 10.3.1

计算 $\arctan (0.41421356)$ 。

$x = \frac{π}{8}$

解题步骤 10.4

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{8}$

解题步骤 10.5

化简 $π + \frac{π}{8}$ 。

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解题步骤 10.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$x = π \cdot \frac{8}{8} + \frac{π}{8}$

解题步骤 10.5.2

合并分数。

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解题步骤 10.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$x = \frac{π \cdot 8}{8} + \frac{π}{8}$

解题步骤 10.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 8 + π}{8}$

解题步骤 10.5.3

化简分子。

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解题步骤 10.5.3.1

将 $8$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{8 \cdot π + π}{8}$

解题步骤 10.5.3.2

将 $8 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{9 π}{8}$

解题步骤 10.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 10.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 10.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 10.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 10.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 10.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{9 π}{8} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 11

在 $\tan (x) = - 1 - \sqrt{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将等式的右边转换为等值的小数形式。

$\tan (x) = - 2.41421356$

解题步骤 11.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 2.41421356)$

解题步骤 11.3

化简右边。

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解题步骤 11.3.1

计算 $\arctan (- 2.41421356)$ 。

$x = - \frac{3 π}{8}$

解题步骤 11.4

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{3 π}{8} - π$

解题步骤 11.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 11.5.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{3 π}{8} - π$ 。

$x = - \frac{3 π}{8} - π + 2 π$

解题步骤 11.5.2

得出的角 $\frac{5 π}{8}$ 是正角度且与 $- \frac{3 π}{8} - π$ 共边。

$x = \frac{5 π}{8}$

解题步骤 11.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 11.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 11.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 11.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 11.7

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 11.7.1

将 $π$ 加到 $- \frac{3 π}{8}$ 以求正角。

$- \frac{3 π}{8} + π$

解题步骤 11.7.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{3 π}{8}$

解题步骤 11.7.3

合并分数。

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解题步骤 11.7.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{3 π}{8}$

解题步骤 11.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 8 - 3 π}{8}$

解题步骤 11.7.4

化简分子。

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解题步骤 11.7.4.1

将 $8$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{8 \cdot π - 3 π}{8}$

解题步骤 11.7.4.2

从 $8 π$ 中减去 $3 π$ 。

$\frac{5 π}{8}$

解题步骤 11.7.5

列出新角。

$x = \frac{5 π}{8}$

解题步骤 11.8

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

列出所有解。

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{9 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

合并答案。

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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