三角学示例

$3 \csc^{2} (x) - 4 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $4$ 。

$3 \csc^{2} (x) = 4$

解题步骤 2

将 $3 \csc^{2} (x) = 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $3 \csc^{2} (x) = 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 \csc^{2} (x)}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 \csc^{2} (x)}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $\csc^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\csc^{2} (x) = \frac{4}{3}$

解题步骤 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

解题步骤 4

化简 $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sqrt{\frac{4}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.2

化简分子。

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解题步骤 4.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\csc (x) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 4.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 4.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.6.4.1

约去公因数。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.6.4.2

重写表达式。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 4.4.6.5

计算指数。

$\csc (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 7

在 $\csc (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

$arccsc (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 7.3

余割函数在第一和第二象限为正值。要求第二个解，应从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \frac{π}{3}$

解题步骤 7.4

化简 $π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 7.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 7.4.2

合并分数。

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解题步骤 7.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 7.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 7.4.3

化简分子。

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解题步骤 7.4.3.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 7.4.3.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.6

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

在 $\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

取等式两边的反余割以从余割中提出 $x$ 。

$x = arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

解题步骤 8.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.1

$arccsc (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$x = - \frac{π}{3}$

解题步骤 8.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

解题步骤 8.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 8.4.1

从 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

解题步骤 8.4.2

得出的角 $\frac{4 π}{3}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 共边。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 8.5

求 $\csc (x)$ 的周期。

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解题步骤 8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 8.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 8.6.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{π}{3} + 2 π$

解题步骤 8.6.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 8.6.3

合并分数。

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解题步骤 8.6.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 8.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 8.6.4

化简分子。

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解题步骤 8.6.4.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 8.6.4.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{5 π}{3}$

解题步骤 8.6.5

列出新角。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 8.7

$\csc (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10

合并解集。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{π}{3} + 2 π n$ 和 $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 10.2

将 $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ 和 $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ 合并为 $\frac{2 π}{3} + π n$ 。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

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