三角学示例

$2 \cos (x) + 3 = \sin^{2} (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sin^{2} (x)$ 。

$2 \cos (x) + 3 - \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 2

使用 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$2 \cos (x) + 3 - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$2 (u) + 3 - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

解题步骤 3.2

化简 $2 u + 3 - (1 - u^{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$2 u + 3 - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 u + 3 - 1 - - u^{2} = 0$

解题步骤 3.2.1.3

乘以 $- - u^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 u + 3 - 1 + 1 u^{2} = 0$

解题步骤 3.2.1.3.2

将 $u^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 u + 3 - 1 + u^{2} = 0$

解题步骤 3.2.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$2 u + 2 + u^{2} = 0$

解题步骤 3.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4

将 $a = 1$ 、 $b = 2$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 3.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i}{2}$ 。

$u = - 1 \pm i$

解题步骤 3.6

最终答案为两个解的组合。

$u = - 1 + i, - 1 - i$

解题步骤 3.7

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = - 1 + i, - 1 - i$

解题步骤 3.8

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = - 1 + i$

$\cos (x) = - 1 - i$

解题步骤 3.9

在 $\cos (x) = - 1 + i$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.9.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1 + i)$

解题步骤 3.9.2

$\arccos (- 1 + i)$ 的反余弦无定义。

无定义

解题步骤 3.10

在 $\cos (x) = - 1 - i$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.10.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1 - i)$

解题步骤 3.10.2

$\arccos (- 1 - i)$ 的反余弦无定义。

无定义

解题步骤 3.11

列出所有解。

无解

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