三角学示例

$2 \cos (x) \tan (x) + \sqrt{3} \tan (x) = 0$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 1.1.1.1

添加圆括号。

$2 (\cos (x) \tan (x)) + \sqrt{3} \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.1.2

将 $\cos (x)$ 和 $\tan (x)$ 重新排序。

$2 (\tan (x) \cos (x)) + \sqrt{3} \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.1.3

将 $2 \cos (x) \tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) + \sqrt{3} \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.1.4

约去公因数。

$2 \sin (x) + \sqrt{3} \tan (x) = 0$

解题步骤 1.1.2

将 $\tan (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$2 \sin (x) + \sqrt{3} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 1.1.3

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 。

$2 \sin (x) + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

解题步骤 2

等式两边同时乘以 $\cos (x)$ 。

$\cos (x) (2 \sin (x) + \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)}) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 3

运用分配律。

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 4

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$2 \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \frac{\sqrt{3} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$2 \cos (x) \sin (x) + \sqrt{3} \sin (x) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sqrt{3} \sin (x) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 6.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 6.3

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x) + \sqrt{3} \sin (x) = \cos (x) \cdot 0$

解题步骤 7

将 $\cos (x)$ 乘以 $0$ 。

$\sin (2 x) + \sqrt{3} \sin (x) = 0$

解题步骤 8

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x) = 0$

解题步骤 9

从 $2 \sin (x) \cos (x) + \sqrt{3} \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

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解题步骤 9.1

从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sqrt{3} \sin (x) = 0$

解题步骤 9.2

从 $\sqrt{3} \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \sqrt{3} = 0$

解题步骤 9.3

从 $\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \sqrt{3}$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) (2 \cos (x) + \sqrt{3}) = 0$

解题步骤 10

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

$2 \cos (x) + \sqrt{3} = 0$

解题步骤 11

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 11.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 11.2.2

化简右边。

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解题步骤 11.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 11.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 11.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 11.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 11.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 11.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 11.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 11.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 11.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 12

将 $2 \cos (x) + \sqrt{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $2 \cos (x) + \sqrt{3}$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (x) + \sqrt{3} = 0$

解题步骤 12.2

求解 $x$ 的 $2 \cos (x) + \sqrt{3} = 0$ 。

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解题步骤 12.2.1

从等式两边同时减去 $\sqrt{3}$ 。

$2 \cos (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 12.2.2

将 $2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 12.2.2.1

将 $2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 12.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 12.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 12.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 12.2.4

化简右边。

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解题步骤 12.2.4.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $\frac{5 π}{6}$ 。

$x = \frac{5 π}{6}$

解题步骤 12.2.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 12.2.6

化简 $2 π - \frac{5 π}{6}$ 。

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解题步骤 12.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 12.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 12.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

解题步骤 12.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

解题步骤 12.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 12.2.6.3.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

解题步骤 12.2.6.3.2

从 $12 π$ 中减去 $5 π$ 。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 12.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 12.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 12.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 12.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 12.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 12.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

最终解为使 $\sin (x) (2 \cos (x) + \sqrt{3}) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 14

将 $2 π n$ 和 $π + 2 π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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