三角学示例

$\sqrt{7} \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x) = ks i n (x + x)$

解题步骤 1

对等式两边进行平方。

${(\sqrt{7} \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x))}^{2} = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2

化简 ${(\sqrt{7} \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

将 ${(\sqrt{7} \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x))}^{2}$ 重写为 $(\sqrt{7} \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x)) (\sqrt{7} \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x))$ 。

$(\sqrt{7} \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x)) (\sqrt{7} \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{7} \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x)) (\sqrt{7} \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x))$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$\sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{7} \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$\sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$\sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

乘以 $\sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{7} \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.3.1.1.1

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

${\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7} \sin (x) \sin (x) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

${\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1} \sin (x) \sin (x) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sqrt{7}}^{1 + 1} \sin (x) \sin (x) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${\sqrt{7}}^{2} \sin (x) \sin (x) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

${\sqrt{7}}^{2} (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.6

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

${\sqrt{7}}^{2} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\sqrt{7}}^{2} {\sin (x)}^{1 + 1} + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.1.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

${\sqrt{7}}^{2} \sin^{2} (x) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

${(7^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin^{2} (x) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$7^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin^{2} (x) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.4.1

约去公因数。

$7^{\frac{2}{2}} \sin^{2} (x) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2.4.2

重写表达式。

$7^{1} \sin^{2} (x) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.2.5

计算指数。

$7 \sin^{2} (x) + \sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3

乘以 $\sqrt{7} \sin (x) (\sqrt{21} \cos (x))$ 。

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解题步骤 2.3.1.3.1

使用根数乘积法则进行合并。

$7 \sin^{2} (x) + \sqrt{21 \cdot 7} \sin (x) \cos (x) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.3.2

将 $21$ 乘以 $7$ 。

$7 \sin^{2} (x) + \sqrt{147} \sin (x) \cos (x) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.4

将 $147$ 重写为 $7^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.3.1.4.1

从 $147$ 中分解出因数 $49$ 。

$7 \sin^{2} (x) + \sqrt{49 (3)} \sin (x) \cos (x) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.4.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$7 \sin^{2} (x) + \sqrt{7^{2} \cdot 3} \sin (x) \cos (x) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.5

从根式下提出各项。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x)) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.6

乘以 $\sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{7} \sin (x))$ 。

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解题步骤 2.3.1.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + \sqrt{7 \cdot 21} \cos (x) \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.6.2

将 $7$ 乘以 $21$ 。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + \sqrt{147} \cos (x) \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.7

将 $147$ 重写为 $7^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.3.1.7.1

从 $147$ 中分解出因数 $49$ 。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + \sqrt{49 (3)} \cos (x) \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.7.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + \sqrt{7^{2} \cdot 3} \cos (x) \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.8

从根式下提出各项。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + \sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.9

乘以 $\sqrt{21} \cos (x) (\sqrt{21} \cos (x))$ 。

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解题步骤 2.3.1.9.1

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + {\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21} \cos (x) \cos (x) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.9.2

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + {\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1} \cos (x) \cos (x) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.9.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + {\sqrt{21}}^{1 + 1} \cos (x) \cos (x) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.9.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + {\sqrt{21}}^{2} \cos (x) \cos (x) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.9.5

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + {\sqrt{21}}^{2} (\cos^{1} (x) \cos (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.9.6

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + {\sqrt{21}}^{2} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.9.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + {\sqrt{21}}^{2} {\cos (x)}^{1 + 1} = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.9.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + {\sqrt{21}}^{2} \cos^{2} (x) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.10

将 ${\sqrt{21}}^{2}$ 重写为 $21$ 。

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解题步骤 2.3.1.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{21}$ 重写成 $21^{\frac{1}{2}}$ 。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + {(21^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos^{2} (x) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (x) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21^{\frac{2}{2}} \cos^{2} (x) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.10.4.1

约去公因数。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21^{\frac{2}{2}} \cos^{2} (x) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.10.4.2

重写表达式。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21^{1} \cos^{2} (x) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.1.10.5

计算指数。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.2

重新排序 $7 \sqrt{3} \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$7 \sin^{2} (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 2.3.3

将 $7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x)$ 和 $7 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x)$ 相加。

$7 \sin^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) = {(ks i n (x + x))}^{2}$

解题步骤 3

化简 ${(ks i n (x + x))}^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$7 \sin^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) = {(ks i n (2 x))}^{2}$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$7 \sin^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) = {(2 (ks i) n x)}^{2}$

解题步骤 3.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.3.1

对 $2 (ks i) n x$ 运用乘积法则。

$7 \sin^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) = {(2 (ks i) n)}^{2} x^{2}$

解题步骤 3.3.2

对 $2 (ks i) n$ 运用乘积法则。

$7 \sin^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) = {(2 (ks i))}^{2} n^{2} x^{2}$

解题步骤 3.3.3

对 $2 (ks i)$ 运用乘积法则。

$7 \sin^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) = 2^{2} {(ks i)}^{2} n^{2} x^{2}$

解题步骤 3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$7 \sin^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) = 4 {(ks i)}^{2} n^{2} x^{2}$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $4 {(ks i)}^{2} n^{2} x^{2}$ 。

$7 \sin^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) - 4 {(ks i)}^{2} n^{2} x^{2} = 0$

解题步骤 5

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $7 (1 - \cos^{2} (x))$ 替换 $7 \sin^{2} (x)$ 。

$7 (1 - \cos^{2} (x)) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) - 4 {(ks i)}^{2} n^{2} x^{2} = 0$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$7 \cdot 1 + 7 (- \cos^{2} (x)) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) - 4 {(ks i)}^{2} n^{2} x^{2} = 0$

解题步骤 6.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$7 + 7 (- \cos^{2} (x)) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) - 4 {(ks i)}^{2} n^{2} x^{2} = 0$

解题步骤 6.3

将 $- 1$ 乘以 $7$ 。

$7 - 7 \cos^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 21 \cos^{2} (x) - 4 {(ks i)}^{2} n^{2} x^{2} = 0$

解题步骤 7

将 $- 7 \cos^{2} (x)$ 和 $21 \cos^{2} (x)$ 相加。

$7 + 14 \cos^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) - 4 {(ks i)}^{2} n^{2} x^{2} = 0$

解题步骤 8

化简 $7 + 14 \cos^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) - 4 {(ks i)}^{2} n^{2} x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

对 $ks i$ 运用乘积法则。

$7 + 14 \cos^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) - 4 ({ks}^{2} i^{2}) n^{2} x^{2} = 0$

解题步骤 8.1.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$7 + 14 \cos^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) - 4 ({ks}^{2} \cdot - 1) n^{2} x^{2} = 0$

解题步骤 8.1.3

将 $- 1$ 移到 ${ks}^{2}$ 的左侧。

$7 + 14 \cos^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) - 4 (- 1 {ks}^{2}) n^{2} x^{2} = 0$

解题步骤 8.1.4

将 $- 1 {ks}^{2}$ 重写为 $- {ks}^{2}$ 。

$7 + 14 \cos^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) - 4 (- {ks}^{2}) n^{2} x^{2} = 0$

解题步骤 8.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$7 + 14 \cos^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 4 {ks}^{2} n^{2} x^{2} = 0$

解题步骤 8.2

将 $7 + 14 \cos^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 4 {ks}^{2} n^{2} x^{2} = 0$ 中的因式重新排序。

$7 + 14 \cos^{2} (x) + 14 \sqrt{3} \cos (x) \sin (x) + 4 n^{2} x^{2} {ks}^{2} = 0$

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