三角学示例

1 - {(sin (x) + cos (x))}^{2} = - sin (2 x)

$1 - {(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = - \sin (2 x)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

化简

1 - {(sin (x) + cos (x))}^{2}

$1 - {(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.1

将

{(sin (x) + cos (x))}^{2}

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ 重写为

(sin (x) + cos (x)) (sin (x) + cos (x))

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ 。

1 - ((sin (x) + cos (x)) (sin (x) + cos (x))) = - sin (2 x)

$1 - ((\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.2

使用 FOIL 方法展开

(sin (x) + cos (x)) (sin (x) + cos (x))

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

运用分配律。

1 - (sin (x) (sin (x) + cos (x)) + cos (x) (sin (x) + cos (x))) = - sin (2 x)

$1 - (\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.2.2

运用分配律。

1 - (sin (x) sin (x) + sin (x) cos (x) + cos (x) (sin (x) + cos (x))) = - sin (2 x)

$1 - (\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x))) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.2.3

运用分配律。

1 - (sin (x) sin (x) + sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + cos (x) cos (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = - \sin (2 x)$

1 - (sin (x) sin (x) + sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + cos (x) cos (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.1.1

乘以

sin (x) sin (x)

$\sin (x) \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1.1.1

对

sin (x)

$\sin (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

1 - ({sin}^{1} (x) sin (x) + sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + cos (x) cos (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3.1.1.2

对

sin (x)

$\sin (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

1 - ({sin}^{1} (x) {sin}^{1} (x) + sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + cos (x) cos (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3.1.1.3

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

1 - ({sin (x)}^{1 + 1} + sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + cos (x) cos (x)) = - sin (2 x)

$1 - ({\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3.1.1.4

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

1 - ({sin}^{2} (x) + sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + cos (x) cos (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = - \sin (2 x)$

1 - ({sin}^{2} (x) + sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + cos (x) cos (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3.1.2

乘以

cos (x) cos (x)

$\cos (x) \cos (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1.2.1

对

cos (x)

$\cos (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

1 - ({sin}^{2} (x) + sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + {cos}^{1} (x) cos (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3.1.2.2

对

cos (x)

$\cos (x)$ 进行

1

$1$ 次方运算。

1 - ({sin}^{2} (x) + sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + {cos}^{1} (x) {cos}^{1} (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3.1.2.3

使用幂法则

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

1 - ({sin}^{2} (x) + sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + {cos (x)}^{1 + 1}) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3.1.2.4

将

1

$1$ 和

1

$1$ 相加。

1 - ({sin}^{2} (x) + sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + {cos}^{2} (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = - \sin (2 x)$

1 - ({sin}^{2} (x) + sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + {cos}^{2} (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = - \sin (2 x)$

1 - ({sin}^{2} (x) + sin (x) cos (x) + cos (x) sin (x) + {cos}^{2} (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3.2

重新排序

sin (x) cos (x)

$\sin (x) \cos (x)$ 的因式。

1 - ({sin}^{2} (x) + cos (x) sin (x) + cos (x) sin (x) + {cos}^{2} (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3.3

将

cos (x) sin (x)

$\cos (x) \sin (x)$ 和

cos (x) sin (x)

$\cos (x) \sin (x)$ 相加。

1 - ({sin}^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) + {cos}^{2} (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = - \sin (2 x)$

1 - ({sin}^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x) + {cos}^{2} (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.4

移动

{cos}^{2} (x)

$\cos^{2} (x)$ 。

1 - ({sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) + 2 cos (x) sin (x)) = - sin (2 x)

$1 - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.5

使用勾股恒等式。

1 - (1 + 2 cos (x) sin (x)) = - sin (2 x)

$1 - (1 + 2 \cos (x) \sin (x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.6

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.6.1

将

2 cos (x)

$2 \cos (x)$ 和

sin (x)

$\sin (x)$ 重新排序。

1 - (1 + sin (x) (2 cos (x))) = - sin (2 x)

$1 - (1 + \sin (x) (2 \cos (x))) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.6.2

将

sin (x)

$\sin (x)$ 和

2

$2$ 重新排序。

1 - (1 + 2 \cdot sin (x) cos (x)) = - sin (2 x)

$1 - (1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.6.3

使用正弦倍角公式。

1 - (1 + sin (2 x)) = - sin (2 x)

$1 - (1 + \sin (2 x)) = - \sin (2 x)$

1 - (1 + sin (2 x)) = - sin (2 x)

$1 - (1 + \sin (2 x)) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.7

运用分配律。

1 - 1 \cdot 1 - sin (2 x) = - sin (2 x)

$1 - 1 \cdot 1 - \sin (2 x) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.1.8

将

- 1

$- 1$ 乘以

1

$1$ 。

1 - 1 - sin (2 x) = - sin (2 x)

$1 - 1 - \sin (2 x) = - \sin (2 x)$

1 - 1 - sin (2 x) = - sin (2 x)

$1 - 1 - \sin (2 x) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 1.1.2.1

从

1

$1$ 中减去

1

$1$ 。

0 - sin (2 x) = - sin (2 x)

$0 - \sin (2 x) = - \sin (2 x)$

解题步骤 1.1.2.2

从

0

$0$ 中减去

sin (2 x)

$\sin (2 x)$ 。

- sin (2 x) = - sin (2 x)

$- \sin (2 x) = - \sin (2 x)$

- sin (2 x) = - sin (2 x)

$- \sin (2 x) = - \sin (2 x)$

- sin (2 x) = - sin (2 x)

$- \sin (2 x) = - \sin (2 x)$

- sin (2 x) = - sin (2 x)

$- \sin (2 x) = - \sin (2 x)$

解题步骤 2

将所有包含

sin (2 x)

$\sin (2 x)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 2.1

在等式两边都加上

sin (2 x)

$\sin (2 x)$ 。

- sin (2 x) + sin (2 x) = 0

$- \sin (2 x) + \sin (2 x) = 0$

解题步骤 2.2

将

- sin (2 x)

$- \sin (2 x)$ 和

sin (2 x)

$\sin (2 x)$ 相加。

0 = 0

$0 = 0$

0 = 0

$0 = 0$

解题步骤 3

因为

0 = 0

$0 = 0$ ，所以方程对于

x

$x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

(- \infty, \infty)

$(- \infty, \infty)$

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