三角学示例

$x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12 = 0$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

解题步骤 1.3

代入 $- 6$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 6$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 6$ 代入多项式。

${(- 6)}^{3} + 4 {(- 6)}^{2} - 10 \cdot - 6 + 12$

解题步骤 1.3.2

对 $- 6$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 216 + 4 {(- 6)}^{2} - 10 \cdot - 6 + 12$

解题步骤 1.3.3

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 216 + 4 \cdot 36 - 10 \cdot - 6 + 12$

解题步骤 1.3.4

将 $4$ 乘以 $36$ 。

$- 216 + 144 - 10 \cdot - 6 + 12$

解题步骤 1.3.5

将 $- 216$ 和 $144$ 相加。

$- 72 - 10 \cdot - 6 + 12$

解题步骤 1.3.6

将 $- 10$ 乘以 $- 6$ 。

$- 72 + 60 + 12$

解题步骤 1.3.7

将 $- 72$ 和 $60$ 相加。

$- 12 + 12$

解题步骤 1.3.8

将 $- 12$ 和 $12$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $- 6$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 6$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12}{x + 6}$

解题步骤 1.5

用 $x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12$ 除以 $x + 6$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$6$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$10 x$

$12$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$6 x^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 6 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$12 x$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{2} - 12 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$
							+	$2 x$	+	$12$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x + 12$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$
							-	$2 x$	-	$12$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	+	$6$		$x^{3}$	+	$4 x^{2}$	-	$10 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$2 x$	+	$12$
							-	$2 x$	-	$12$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 2 x + 2$

解题步骤 1.6

将 $x^{3} + 4 x^{2} - 10 x + 12$ 书写为因数的集合。

$(x + 6) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 6 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

解题步骤 3

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x + 6$ 设为等于 $0$ 。

$x + 6 = 0$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x = - 6$

解题步骤 4

将 $x^{2} - 2 x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{2} - 2 x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3

化简。

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解题步骤 4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 4.2.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 1 \pm i$

解题步骤 4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + i, 1 - i$

解题步骤 5

最终解为使 $(x + 6) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 6, 1 + i, 1 - i$

三角学 示例

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