三角学示例

$\cos (x + \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x + \frac{π}{4} = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 3.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{3 π - π}{4}$

解题步骤 3.3

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{2 π}{4}$

解题步骤 3.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (π)}{4}$

解题步骤 3.4.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.2

约去公因数。

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3

重写表达式。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x + \frac{π}{4} = 2 π - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

化简 $2 π - \frac{3 π}{4}$ 。

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解题步骤 5.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x + \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.1.2

合并分数。

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解题步骤 5.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x + \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

解题步骤 5.1.3

化简分子。

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解题步骤 5.1.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x + \frac{π}{4} = \frac{8 π - 3 π}{4}$

解题步骤 5.1.3.2

从 $8 π$ 中减去 $3 π$ 。

$x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{5 π}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{5 π - π}{4}$

解题步骤 5.2.3

从 $5 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{4 π}{4}$

解题步骤 5.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$x = \frac{4 π}{4}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$x = π$

解题步骤 6

求 $\cos (x + \frac{π}{4})$ 的周期。

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解题步骤 6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7

$\cos (x + \frac{π}{4})$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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