三角学示例

$8 \cos (\arcsin (x)) = \sqrt{64 - 64 x^{2}}$

解题步骤 1

因为根式位于方程的右边，所以要交换两边以便使其位于方程的左边。

$\sqrt{64 - 64 x^{2}} = 8 \cos (\arcsin (x))$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{64 - 64 x^{2}}}^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{64 - 64 x^{2}}$ 重写成 ${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${({(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(64 - 64 x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(64 - 64 x^{2})}^{1} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$64 - 64 x^{2} = {(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(8 \cos (\arcsin (x)))}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 3.3.1.1.1

在平面中画出顶点为 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arcsin (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cos (\arcsin (x))$ 为 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1 - x^{2}})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{1^{2} - x^{2}})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$64 - 64 x^{2} = {(8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3

通过约去带根式的指数进行化简。

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解题步骤 3.3.1.3.1

对 $8 \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 运用乘积法则。

$64 - 64 x^{2} = 8^{2} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 - 64 x^{2} = 64 {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.3

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$64 - 64 x^{2} = 64 {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.3.1.3.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.3.3.4.1

约去公因数。

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 3.3.1.3.3.4.2

重写表达式。

$64 - 64 x^{2} = 64 {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

解题步骤 3.3.1.3.3.5

化简。

$64 - 64 x^{2} = 64 ((1 + x) (1 - x))$

解题步骤 3.3.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 3.3.1.4.1

运用分配律。

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 (1 - x) + x (1 - x))$

解题步骤 3.3.1.4.2

运用分配律。

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

解题步骤 3.3.1.4.3

运用分配律。

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

解题步骤 3.3.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.5.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

解题步骤 3.3.1.5.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

解题步骤 3.3.1.5.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x + x (- x))$

解题步骤 3.3.1.5.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x \cdot x)$

解题步骤 3.3.1.5.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.5.1.5.1

移动 $x$ 。

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - (x \cdot x))$

解题步骤 3.3.1.5.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x + x - x^{2})$

解题步骤 3.3.1.5.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 + 0 - x^{2})$

解题步骤 3.3.1.5.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$64 - 64 x^{2} = 64 (1 - x^{2})$

解题步骤 3.3.1.6

运用分配律。

$64 - 64 x^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- x^{2})$

解题步骤 3.3.1.7

乘。

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解题步骤 3.3.1.7.1

将 $64$ 乘以 $1$ 。

$64 - 64 x^{2} = 64 + 64 (- x^{2})$

解题步骤 3.3.1.7.2

将 $- 1$ 乘以 $64$ 。

$64 - 64 x^{2} = 64 - 64 x^{2}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.1.1

在等式两边都加上 $64 x^{2}$ 。

$64 - 64 x^{2} + 64 x^{2} = 64$

解题步骤 4.1.2

合并 $64 - 64 x^{2} + 64 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 64 x^{2}$ 和 $64 x^{2}$ 相加。

$64 + 0 = 64$

解题步骤 4.1.2.2

将 $64$ 和 $0$ 相加。

$64 = 64$

解题步骤 4.2

因为 $64 = 64$ ，所以方程对于 $x$ 的所有值将恒成立。

所有实数

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

所有实数

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

三角学 示例

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