三角学示例

$9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = 1$

解题步骤 1

将 $9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = 1$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 1.1

将 $9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = 1$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2})}{9} = \frac{1}{9}$

解题步骤 1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2})}{9} = \frac{1}{9}$

解题步骤 1.2.1.2

用 $\sin^{2} (x - \frac{π}{2})$ 除以 $1$ 。

$\sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{9}$

解题步骤 2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

解题步骤 3

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\sqrt{\frac{1}{9}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ 。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 3.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

解题步骤 3.3

化简分母。

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解题步骤 3.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{1}{3}$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$

解题步骤 4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{3}$

解题步骤 4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

解题步骤 5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$

$\sin (x - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{3}$

解题步骤 6

在 $\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{1}{3})$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

计算 $\arcsin (\frac{1}{3})$ 。

$x - \frac{π}{2} = 0.3398369$

解题步骤 6.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.3.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$x = 0.3398369 + \frac{π}{2}$

解题步骤 6.3.2

将 $0.3398369$ 和 $\frac{π}{2}$ 相加。

$x = 1.91063323$

解题步骤 6.4

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x - \frac{π}{2} = (3.14159265) - 0.3398369$

解题步骤 6.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

从 $3.14159265$ 中减去 $0.3398369$ 。

$x - \frac{π}{2} = 2.80175574$

解题步骤 6.5.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.5.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$x = 2.80175574 + \frac{π}{2}$

解题步骤 6.5.2.2

将 $2.80175574$ 和 $\frac{π}{2}$ 相加。

$x = 4.37255207$

解题步骤 6.6

求 $\sin (x - \frac{π}{2})$ 的周期。

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解题步骤 6.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.7

$\sin (x - \frac{π}{2})$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.91063323 + 2 π n, 4.37255207 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

在 $\sin (x - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{3}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x - \frac{π}{2} = \arcsin (- \frac{1}{3})$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{1}{3})$ 。

$x - \frac{π}{2} = - 0.3398369$

解题步骤 7.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.3.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$x = - 0.3398369 + \frac{π}{2}$

解题步骤 7.3.2

将 $- 0.3398369$ 和 $\frac{π}{2}$ 相加。

$x = 1.23095941$

解题步骤 7.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x - \frac{π}{2} = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$

解题步骤 7.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.5.1

从 $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x - \frac{π}{2} = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 7.5.2

得出的角 $3.48142956$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ 共边。

$x - \frac{π}{2} = 3.48142956$

解题步骤 7.5.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.5.3.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$x = 3.48142956 + \frac{π}{2}$

解题步骤 7.5.3.2

将 $3.48142956$ 和 $\frac{π}{2}$ 相加。

$x = 5.05222588$

解题步骤 7.6

求 $\sin (x - \frac{π}{2})$ 的周期。

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解题步骤 7.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.7

$\sin (x - \frac{π}{2})$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

列出所有解。

$x = 1.91063323 + 2 π n, 4.37255207 + 2 π n, 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并解集。

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解题步骤 9.1

将 $1.91063323 + 2 π n$ 和 $5.05222588 + 2 π n$ 合并为 $1.91063323 + π n$ 。

$x = 1.91063323 + π n, 4.37255207 + 2 π n, 1.23095941 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9.2

将 $4.37255207 + 2 π n$ 和 $1.23095941 + 2 π n$ 合并为 $1.23095941 + π n$ 。

$x = 1.91063323 + π n, 1.23095941 + π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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