三角学示例

$\cos (2 x - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x - \frac{π}{4} = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$2 x = \frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}$

解题步骤 3.2

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 3.3

要将 $\frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 3.4.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 3.4.3

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

解题步骤 3.4.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$2 x = \frac{8 π + π \cdot 3}{12}$

解题步骤 3.6.2

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$2 x = \frac{8 π + 3 \cdot π}{12}$

解题步骤 3.6.3

将 $8 π$ 和 $3 π$ 相加。

$2 x = \frac{11 π}{12}$

解题步骤 4

将 $2 x = \frac{11 π}{12}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $2 x = \frac{11 π}{12}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{11 π}{12}}{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{11 π}{12}}{2}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{11 π}{12}}{2}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{11 π}{12} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 4.3.2

乘以 $\frac{11 π}{12} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $\frac{11 π}{12}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{11 π}{12 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{11 π}{24}$

解题步骤 5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$2 x - \frac{π}{4} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 6.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x - \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 6.1.2

合并分数。

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解题步骤 6.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 6.1.2.2

在公分母上合并分子。

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 6.1.3

化简分子。

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解题步骤 6.1.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 6.1.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 6.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$2 x = \frac{4 π}{3} + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.2

要将 $\frac{4 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.3

要将 $\frac{π}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 6.2.4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $12$ 的形式。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $\frac{4 π}{3}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 x = \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 6.2.4.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$2 x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 6.2.4.3

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

解题步骤 6.2.4.4

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$2 x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

解题步骤 6.2.5

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{4 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

解题步骤 6.2.6

化简分子。

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解题步骤 6.2.6.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$2 x = \frac{16 π + π \cdot 3}{12}$

解题步骤 6.2.6.2

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$2 x = \frac{16 π + 3 \cdot π}{12}$

解题步骤 6.2.6.3

将 $16 π$ 和 $3 π$ 相加。

$2 x = \frac{19 π}{12}$

解题步骤 6.3

将 $2 x = \frac{19 π}{12}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $2 x = \frac{19 π}{12}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{19 π}{12}}{2}$

解题步骤 6.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{19 π}{12}}{2}$

解题步骤 6.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{19 π}{12}}{2}$

解题步骤 6.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{19 π}{12} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 6.3.3.2

乘以 $\frac{19 π}{12} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 $\frac{19 π}{12}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{19 π}{12 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.3.2.2

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{19 π}{24}$

解题步骤 7

求 $\cos (2 x - \frac{π}{4})$ 的周期。

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解题步骤 7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 7.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 8

$\cos (2 x - \frac{π}{4})$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{11 π}{24} + π n, \frac{19 π}{24} + π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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