三角学示例

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

解题步骤 1

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $4 (1 - \sin^{2} (x))$ 替换 $4 \cos^{2} (x)$ 。

$4 (1 - \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

解题步骤 2

化简每一项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$4 \cdot 1 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

解题步骤 2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + 4 (- \sin^{2} (x)) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$4 - 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 5 = 0$

解题步骤 3

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$- 4 \sin^{2} (x) - 4 \sin (x) - 1 = 0$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

解题步骤 5

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.1

从 $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $- 4 u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

解题步骤 5.1.2

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

解题步骤 5.1.3

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 5.1.4

从 $- (4 u^{2}) - (4 u)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 5.1.5

从 $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

解题步骤 5.2

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

将 $4 u^{2}$ 重写为 ${(2 u)}^{2}$ 。

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

解题步骤 5.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

解题步骤 5.2.3

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

解题步骤 5.2.4

重写多项式。

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 5.2.5

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = 2 u$ 和 $b = 1$ 。

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 6

将 $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.2.2

用 ${(2 u + 1)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 7

将 $2 u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 u + 1 = 0$

解题步骤 8

求解 $u$ 。

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解题步骤 8.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 u = - 1$

解题步骤 8.2

将 $2 u = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $2 u = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 8.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 8.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 8.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1}{2}$

解题步骤 9

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 10

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 11

化简右边。

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解题步骤 11.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 12

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 13

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 13.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 13.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 14

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 14.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 14.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 14.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 14.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 15

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 15.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

解题步骤 15.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 15.3

合并分数。

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解题步骤 15.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 15.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 15.4

化简分子。

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解题步骤 15.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 15.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{6}$

解题步骤 15.5

列出新角。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 16

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

三角学 示例

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