三角学示例

$y = 3 \cos (2 (x + \frac{π}{3}))$

解题步骤 1

使用 $a \cos (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 3$

$b = 2$

$c = - \frac{2 π}{3}$

$d = 0$

解题步骤 2

求振幅 $| a |$ 。

振幅： $3$

解题步骤 3

求 $3 \cos (2 x + \frac{2 π}{3})$ 的周期。

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解题步骤 3.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 3.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 3.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 4.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 4.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{- \frac{2 π}{3}}{2}$

解题步骤 4.3

将分子乘以分母的倒数。

相移： $- \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

将 $- \frac{2 π}{3}$ 中前置负号移到分子中。

相移： $\frac{- 2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.2

从 $- 2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

相移： $\frac{2 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.3

约去公因数。

相移： $\frac{2 (- π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 4.4.4

重写表达式。

相移： $\frac{- π}{3}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

相移： $- \frac{π}{3}$

解题步骤 5

列出三角函数的性质。

振幅： $3$

周期： $π$

相移：： $- \frac{π}{3}$ （ $\frac{π}{3}$ 向左移动）

垂直位移：无

解题步骤 6

选择某些点来画图。

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解题步骤 6.1

求在 $x = - \frac{π}{3}$ 处的点。

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解题步骤 6.1.1

使用表达式中的 $- \frac{π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (2 (- \frac{π}{3}) + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.1.2

化简结果。

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解题步骤 6.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1.1

乘以 $2 (- \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (- 2 \frac{π}{3} + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.1.2.1.1.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (\frac{- 2 π}{3} + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.1.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (- \frac{2 π}{3} + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.1.2.2

化简项。

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解题步骤 6.1.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (\frac{- 2 π + 2 π}{3})$

解题步骤 6.1.2.2.2

将 $- 2 π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (\frac{0}{3})$

解题步骤 6.1.2.2.3

用 $0$ 除以 $3$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cos (0)$

解题步骤 6.1.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = 3 \cdot 1$

解题步骤 6.1.2.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{π}{3}) = 3$

解题步骤 6.1.2.5

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 6.2

求在 $x = - \frac{π}{12}$ 处的点。

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解题步骤 6.2.1

使用表达式中的 $- \frac{π}{12}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (2 (- \frac{π}{12}) + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

将 $- \frac{π}{12}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (2 (\frac{- π}{12}) + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (2 (\frac{- π}{2 (6)}) + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2.2.1.1.3

约去公因数。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (2 (\frac{- π}{2 \cdot 6}) + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2.2.1.1.4

重写表达式。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{- π}{6} + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.2.2.2

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 6.2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 6.2.2.3.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

解题步骤 6.2.2.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (- \frac{π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6})$

解题步骤 6.2.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{- π + 2 π \cdot 2}{6})$

解题步骤 6.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{- π + 4 π}{6})$

解题步骤 6.2.2.5.2

将 $- π$ 和 $4 π$ 相加。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 π}{6})$

解题步骤 6.2.2.6

约去 $3$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.6.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 (π)}{6})$

解题步骤 6.2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

解题步骤 6.2.2.6.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

解题步骤 6.2.2.6.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.2.2.7

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (- \frac{π}{12}) = 3 \cdot 0$

解题步骤 6.2.2.8

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (- \frac{π}{12}) = 0$

解题步骤 6.2.2.9

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6.3

求在 $x = \frac{π}{6}$ 处的点。

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解题步骤 6.3.1

使用表达式中的 $\frac{π}{6}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{6}) + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.3.2

化简结果。

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解题步骤 6.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2 (3)}) + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.3.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}) + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.3.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (\frac{π}{3} + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.3.2.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (\frac{π + 2 π}{3})$

解题步骤 6.3.2.3

将 $π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

解题步骤 6.3.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.4.1

约去公因数。

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (\frac{3 π}{3})$

解题步骤 6.3.2.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cos (π)$

解题步骤 6.3.2.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (\frac{π}{6}) = 3 (- \cos (0))$

解题步骤 6.3.2.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 3 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 6.3.2.7

乘以 $3 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.3.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{6}) = 3 \cdot - 1$

解题步骤 6.3.2.7.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{π}{6}) = - 3$

解题步骤 6.3.2.8

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 6.4

求在 $x = \frac{5 π}{12}$ 处的点。

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解题步骤 6.4.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{12}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (2 (\frac{5 π}{12}) + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.4.2

化简结果。

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解题步骤 6.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 (6)}) + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.4.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 6}) + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.4.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.4.2.2

要将 $\frac{2 π}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 6.4.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 6.4.2.3.1

将 $\frac{2 π}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2})$

解题步骤 6.4.2.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{5 π}{6} + \frac{2 π \cdot 2}{6})$

解题步骤 6.4.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{5 π + 2 π \cdot 2}{6})$

解题步骤 6.4.2.5

化简分子。

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解题步骤 6.4.2.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{5 π + 4 π}{6})$

解题步骤 6.4.2.5.2

将 $5 π$ 和 $4 π$ 相加。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{9 π}{6})$

解题步骤 6.4.2.6

约去 $9$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.6.1

从 $9 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{6})$

解题步骤 6.4.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.6.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

解题步骤 6.4.2.6.2.2

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

解题步骤 6.4.2.6.2.3

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 6.4.2.7

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cos (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.4.2.8

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{5 π}{12}) = 3 \cdot 0$

解题步骤 6.4.2.9

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{5 π}{12}) = 0$

解题步骤 6.4.2.10

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6.5

求在 $x = \frac{2 π}{3}$ 处的点。

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解题步骤 6.5.1

使用表达式中的 $\frac{2 π}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (2 (\frac{2 π}{3}) + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.5.2

化简结果。

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解题步骤 6.5.2.1

乘以 $2 (\frac{2 π}{3})$ 。

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解题步骤 6.5.2.1.1

组合 $2$ 和 $\frac{2 π}{3}$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{2 (2 π)}{3} + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.5.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{4 π}{3} + \frac{2 π}{3})$

解题步骤 6.5.2.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{4 π + 2 π}{3})$

解题步骤 6.5.2.3

将 $4 π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{6 π}{3})$

解题步骤 6.5.2.4

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.4.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3})$

解题步骤 6.5.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 (1)})$

解题步骤 6.5.2.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1})$

解题步骤 6.5.2.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (\frac{2 π}{1})$

解题步骤 6.5.2.4.2.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (2 π)$

解题步骤 6.5.2.5

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cos (0)$

解题步骤 6.5.2.6

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 3 \cdot 1$

解题步骤 6.5.2.7

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{2 π}{3}) = 3$

解题步骤 6.5.2.8

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 6.6

列出表中的点。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & 3 \\ - \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{6} & - 3 \\ \frac{5 π}{12} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 3 \end{array}$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅： $3$

周期： $π$

相移：： $- \frac{π}{3}$ （ $\frac{π}{3}$ 向左移动）

垂直位移：无

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{3} & 3 \\ - \frac{π}{12} & 0 \\ \frac{π}{6} & - 3 \\ \frac{5 π}{12} & 0 \\ \frac{2 π}{3} & 3 \end{array}$

解题步骤 8

三角学 示例

三角学示例