三角学示例

$\tan (75) = \frac{20}{x}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\frac{20}{x} = \tan (75)$ 。

$\frac{20}{x} = \tan (75)$

解题步骤 2

$\tan (75)$ 的准确值为 $2 + \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 2.1

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{20}{x} = \tan (30 + 45)$

解题步骤 2.2

使用两角和公式。

$\frac{20}{x} = \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

解题步骤 2.3

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

解题步骤 2.4

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)}$

解题步骤 2.5

$\tan (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (45)}$

解题步骤 2.6

$\tan (45)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

解题步骤 2.7

化简 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ 。

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解题步骤 2.7.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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解题步骤 2.7.1.1

将 $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$

解题步骤 2.7.1.2

合并。

$\frac{20}{x} = \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

解题步骤 2.7.2

运用分配律。

$\frac{20}{x} = \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

解题步骤 2.7.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.3.1

约去公因数。

$\frac{20}{x} = \frac{3 \frac{\sqrt{3}}{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

解题步骤 2.7.3.2

重写表达式。

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

解题步骤 2.7.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

解题步骤 2.7.5

化简分母。

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解题步骤 2.7.5.1

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)}$

解题步骤 2.7.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}$

解题步骤 2.7.5.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.5.3.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 2.7.5.3.2

约去公因数。

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}$

解题步骤 2.7.5.3.3

重写表达式。

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$

解题步骤 2.7.6

将 $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

解题步骤 2.7.7

将 $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

解题步骤 2.7.8

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 2.7.9

化简。

$\frac{20}{x} = \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.10

化简分子。

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解题步骤 2.7.10.1

重新排序项。

$\frac{20}{x} = \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.10.2

对 $3 + \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} (3 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.10.3

对 $3 + \sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1} {(3 + \sqrt{3})}^{1}}{6}$

解题步骤 2.7.10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

解题步骤 2.7.10.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{20}{x} = \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6}$

解题步骤 2.7.11

将 ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.12

使用 FOIL 方法展开 $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 2.7.12.1

运用分配律。

$\frac{20}{x} = \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.12.2

运用分配律。

$\frac{20}{x} = \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.12.3

运用分配律。

$\frac{20}{x} = \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.7.13

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.7.13.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.13.1.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.2

将 $3$ 移到 $\sqrt{3}$ 的左侧。

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.5

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

解题步骤 2.7.13.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{20}{x} = \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

解题步骤 2.7.13.2

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$\frac{20}{x} = \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.7.13.3

将 $3 \sqrt{3}$ 和 $3 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{20}{x} = \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.7.14

约去 $12 + 6 \sqrt{3}$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.14.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.7.14.2

从 $6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.14.3

从 $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6}$

解题步骤 2.7.14.4

约去公因数。

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解题步骤 2.7.14.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)}$

解题步骤 2.7.14.4.2

约去公因数。

$\frac{20}{x} = \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

解题步骤 2.7.14.4.3

重写表达式。

$\frac{20}{x} = \frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

解题步骤 2.7.14.4.4

用 $2 + \sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$

解题步骤 3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, 1, 1$

解题步骤 3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 4

将 $\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{20}{x} = 2 + \sqrt{3}$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$\frac{20}{x} x = 2 x + \sqrt{3} x$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{20}{x} x = 2 x + \sqrt{3} x$

解题步骤 4.2.1.2

重写表达式。

$20 = 2 x + \sqrt{3} x$

解题步骤 5

求解方程。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $2 x + \sqrt{3} x = 20$ 。

$2 x + \sqrt{3} x = 20$

解题步骤 5.2

从 $2 x + \sqrt{3} x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 2 + \sqrt{3} x = 20$

解题步骤 5.2.2

从 $\sqrt{3} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 2 + x \sqrt{3} = 20$

解题步骤 5.2.3

从 $x \cdot 2 + x \sqrt{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (2 + \sqrt{3}) = 20$

解题步骤 5.3

将 $x (2 + \sqrt{3}) = 20$ 中的每一项除以 $2 + \sqrt{3}$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $x (2 + \sqrt{3}) = 20$ 中的每一项都除以 $2 + \sqrt{3}$ 。

$\frac{x (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2 + \sqrt{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (2 + \sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}} = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{20}{2 + \sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $\frac{20}{2 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ 。

$x = \frac{20}{2 + \sqrt{3}} \cdot \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $\frac{20}{2 + \sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$ 。

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})}$

解题步骤 5.3.3.3

使用 FOIL 方法来展开分母。

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{4 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 - {\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 5.3.3.4

化简。

$x = \frac{20 (2 - \sqrt{3})}{1}$

解题步骤 5.3.3.5

用 $20 (2 - \sqrt{3})$ 除以 $1$ 。

$x = 20 (2 - \sqrt{3})$

解题步骤 5.3.3.6

运用分配律。

$x = 20 \cdot 2 + 20 (- \sqrt{3})$

解题步骤 5.3.3.7

乘。

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解题步骤 5.3.3.7.1

将 $20$ 乘以 $2$ 。

$x = 40 + 20 (- \sqrt{3})$

解题步骤 5.3.3.7.2

将 $- 1$ 乘以 $20$ 。

$x = 40 - 20 \sqrt{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 40 - 20 \sqrt{3}$

小数形式：

$x = 5.35898384 \dots$

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